Русская Википедия:Ассоциированное семейство

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Helicatenoid.gif

Анимация, показывающая изменение геликоида при изменении <math>\theta</math>.

Ассоциированное семейство (или семейство Бонне) минимальной поверхности - является однопараметрическим семейством минимальных поверхностей, которые разделяют те же данные ВейерштрассаШаблон:R. То есть, если поверхность имеет представление

<math>x_k(\zeta) = \Re \left\{ \int_{0}^{\zeta} \varphi_{k}(z) \, dz \right\} + c_k , \qquad k=1,2,3</math>

семейство описывается формулой

<math>x_k(\zeta,\theta) = \Re \left\{ e^{i \theta} \int_0^\zeta \varphi_{k}(z) \, dz \right\} + c_k , \qquad \theta \in [0,2\pi] </math>

При <math>\theta=\pi/2</math> поверхность называется сопряжённой поверхности <math>\theta=0</math>Шаблон:R.

Преобразование можно рассматривать как локальное вращение направлений главной кривизны. Нормали поверхности точки с фиксированным <math>\zeta</math> остаются неизменными при изменении <math>\theta</math>. Сама точка движется по эллипсу .

Некоторые примеры ассоциированных семейств поверхностей: семейства катеноидов и геликоидов, семейства Шварца P, Шварца D и гироидов, а также семейства первой и второй поверхностей Шерка. Поверхность Эннепера сопряжена с собой — она остаётся неизменной при изменении <math>\theta</math>.

Сопряжённые поверхности имеют следующее свойство: любая прямая на поверхности отражается в планарную геодезическую линию на сопряжённой поверхности и наоборот. Если кусок поверхности ограничен прямой, то сопряжённый кусок ограничен плоской линией симметрии. Это полезно при построении минимальных поверхностей путём перехода в сопряжённое пространство: ограничение плоскостями эквивалентно ограничению многоугольникомШаблон:R.

Имеются аналоги ассоциированным семействам минимальных поверхностей в пространствах более высокой размерности и для многообразийШаблон:R.