Русская Википедия:Атомарная функция
Атома́рная фу́нкция — финитное решение функционально-дифференциального уравнения вида
- <math>L\,y(x) = \sum_{k=1}^{M} c_k y(ax - b_k),</math>
где <math>L</math> — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; коэффициенты <math>a, b_k, c_k \in \mathbb{R}</math>, причём <math>|a| > 1</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
Атомарная функция up(x)
Простейшая атомарная функция <math>\operatorname{up}(x)</math> (читается: «ап от <math>x</math>»Шаблон:Sfn) является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения
- <math>\frac{1}{2}\,y'(x) = y(2x + 1) - y(2x - 1)</math>
с носителем <math>\operatorname{supp} \operatorname{up}(x) = (-1, 1),</math> которое удовлетворяет условию нормировки <math>\operatorname{up}(0) = 1</math> (доказано, что при указанной нормировке это решение существует и единственно)[1].
Преобразование Фурье функции <math>\operatorname{up}(x)</math> имеет вид
- <math>\hat{\operatorname{up}}(t) = \prod_{k=1}^{\infty} \operatorname{sinc} \frac{t}{2^k},</math>
где <math>\operatorname{sinc} = \sin{x}/x</math> — sinc-функция.
Функция <math>\operatorname{up}(x)</math> — чётная, возрастает на интервале <math>[-1,\;0]</math>, убывает на интервале <math>[0,\;1], </math> а её график ограничивает над осью абсцисс единичную площадь. Кроме того, <math>\operatorname{up}(1 - x) = 1 - \operatorname{up}(x)</math> при <math>x \in [0,\;1]</math>. Таким образом, целочисленные сдвиги <math>\operatorname{up}(x)</math> образуют разбиение единицы:
- <math>\sum_{j=-\infty}^{\infty} \operatorname{up}(x - j) \equiv 1.</math>
Значения <math>\operatorname{up}(x)</math> в двоично-рациональных точках вида <math>2^{-n} k</math> — рациональные числа. Функция <math>\operatorname{up}(x)</math> неаналитична ни в одной точке своего носителя. Для её вычисления нельзя использовать ряд Тейлора, однако существуют быстросходящиеся ряды специального вида, приспособленные для таких вычислений. Используются также разложения <math>\operatorname{up}(x)</math> в ряд Фурье, ряды по полиномам Лежандра, Бернштейна и др.
Атомарные функции бесконечно дробимы, то есть представимы в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий финитных функций с произвольной длиной носителя (дробных компонент), и могут рассматриваться как аналоги B-сплайнов бесконечной гладкости, а также идейные предшественники вейвлетов. Хорошие аппроксимативные свойства функции <math>\operatorname{up}(x)</math> основаны на том факте, что с помощью линейной комбинации сдвигов-сжатий <math>\operatorname{up}(x)</math> можно представить алгебраический многочлен любой степени.
Атомарные функции ha(x), совершенные сплайны
Атомарные функции <math>\operatorname{h}_a(x)</math> (при <math>a > 1</math>) являются обобщением функции <math>\operatorname{up}(x)</math>. Соответствующие функционально-дифференциальные уравнения имеют вид
- <math>\frac{2}{a^2} y'(x) = y(ax + 1) - y(ax - 1).</math>
Таким образом, <math>\operatorname{up}(x) \equiv \operatorname{h}_2(x).</math> Преобразование Фурье функции <math>\operatorname{h}_a(x)</math> имеет вид
- <math>\hat{\operatorname{h}_a}(t) = \prod_{n=1}^{\infty} \operatorname{sinc} \frac{t}{a^n},</math>
следовательно, функции <math>\operatorname{h}_a(x)</math> есть бесконечнократные свёртки характеристических функций интервалов (прямоугольных функций), ширины которых убывают в геометрической прогрессии. Если в последнем выражении ограничиться конечным числом членов <math>M</math> бесконечного произведения, получим преобразование Фурье совершенных сплайнов <math>\operatorname{h}_{a,M}(x)</math> с рекуррентным функционально-дифференциальным выражением
- <math>\frac{2}{a^2} \operatorname{h}'_{a,M}(x) = \operatorname{h}_{a,M-1}(ax + 1) - \operatorname{h}_{a,M-1}(ax - 1).</math>
Обобщённая теорема Котельникова
Нули преобразований Фурье функций <math>\operatorname{h}_a(x)</math> расположены регулярным образом в точках <math>a \pi n</math> <math>(n \neq 0)</math>. В связи с этим любую непрерывную функцию <math>f(x)</math> с финитным спектром <math>(\operatorname{supp} \hat{f} = [-\Omega, \Omega])</math> можно разложить в ряд
- <math>f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k\Delta) \hat{\operatorname{h}_a}\left[\frac{a\pi}{\Delta}(x - k\Delta)\right],</math>
где <math>a > 2,\ 0 < \Delta \leq \pi(a - 2) / \Omega(a - 1)</math>Шаблон:Sfn.
Данная формула обобщает известную теорему КотельниковаШаблон:Sfn; впервые она была предложена В. Ф. Кравченко и В. А. Рвачёвым[2], а в дальнейшем развита Е. Г. Зелкиным, В. Ф. Кравченко и М. А. Басарабом[3].
История и развитие
Атомарные функции впервые были введены в работе[4] 1971 года. Обстоятельства появления функции <math>\operatorname{up}(x)</math> связаны с проблемой, поставленной в 1967 году В. Л. Рвачёвым и решённой В. А. Рвачёвым: найти такую финитную дифференцируемую функцию, что её график имел бы вид «горба» с одним участком возрастания и одним участком убывания, а график её производной состоял бы из «горба» и «ямы», причём последние были бы подобны «горбу» самой функции, т. e. представляли бы собой — с точностью до масштабного коэффициента — сдвинутую и сжатую копию графика исходной функции[5].
Итоги начального этапа развития теории атомарных функций представлены в работе В. А. Рвачёва «Атомарные функции и их применение»[6]. В ней дан подробный обзор работ по теории атомарных функций, доведённый до 1984 года, приведён список нерешённых задач теории атомарных функций, во многом определивший направления дальнейших исследований.
В настоящее время атомарные функции находят широкое применение в теории аппроксимации, численном анализе, цифровой обработке сигналов, вейвлет-анализе и других областях. Большой цикл работ по теории и применениям атомарных функций в различных физических приложениях опубликован В. Ф. Кравченко и представителями его научной школы[7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19].
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга — С. 103—260.
- Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Кравченко В. Ф., Чуриков Д. В. Цифровая обработка сигналов атомарными функциями и вейвлетами. — М.: Техносфера, 2019. Дополнительный тираж. 182 с. ISBN 978-5-94836-506-0.
- ↑ Кравченко В. Ф., Кравченко О. В. Конструктивные методы алгебры логики, атомарных функций, вейвлетов, фракталов в задачах физики и техники. — М.: Техносфера, 2018. 696 с. ISBN 978-5-94836-518-3.
