Русская Википедия:Аффинно-квадратичная функция
Аффи́нно-квадрати́чная фу́нкция — аналог понятия квадратичная форма для аффинных пространств.
Определение
Пусть далее <math>S</math> — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством <math>V</math> над полем <math>\mathbb{K}</math>, характеристика которого не равна <math>2</math>.
Через координаты
Функция <math>Q : S \to \mathbb{K}</math> называется аффинно-квадратичной, если в некотором репере она задаётся при помощи квадратичного многочлена (или многочлена меньшей степени) от координат, то есть
- <math>Q(P)=\sum_{1 \leq i \leq j \leq n}a_{ij}x_ix_j+\sum_{i=1}^nb_{i}x_i+c</math>.
В отличие от классического понятия квадратичной функции коэффициентам <math>a_{ij}</math> разрешается быть одновременно нулями. Таким образом, многочлен может быть и линейным, и постоянным.
Через квадратичную форму
Функция <math>Q : S \to \mathbb{K}</math> называется аффинно-квадратичной, если для некоторой фиксированной точки <math>O \in S</math> она задаётся соотношением
- <math>Q(x+O)=q(x) + l(x) + c</math>,
где <math>x \in V</math>, <math>q</math> — квадратичная форма на <math>V</math>, <math>l</math> — линейная форма на <math>V</math>, <math>c</math> — фиксированная константа <math>\mathbb{K}</math>Шаблон:Sfn.
Через биаффинную функцию
Можно дать определение аналогичное определению квадратичной формы через билинейную форму. Функцию <math>D : S \times S \to \mathbb{K}</math> назовём биаффинной, если при фиксированном одном из параметров, функция аффинна, то есть если <math>\forall P \in S:D(P,\cdot),D(\cdot,P)</math> — аффинные функции. Тогда <math>Q : S \to \mathbb{K}</math> называется аффинно-квадратичной, если для некоторой биаффинной функции <math>D</math>
- <math>Q(P)=D(P,P)</math>.Шаблон:Sfn
Связь с биаффинными функциями
Согласно третьему определению, любая функция вида <math>D(P,P)</math>, где <math>D</math> — биаффинная функция, является аффинно-квадратичной, и любая аффинно-квадратичная функция <math>Q(P)</math> может быть представлена как <math>D(P,P)</math>, где <math>D</math> — некоторая биаффинная функция. Однако для определённой аффинно-квадратичной функции биаффинная функция, определяющая её, определена неоднозначно. Однозначное соответствие можно получить, если дополнительно потребовать симметричность <math>D</math>, то есть верно следующее утверждение:
- Для любой аффинно-квадратичной функции <math>Q(P)</math> существует и единственна симметричная биаффинная функция <math>D(P,R)</math> такая, что <math>Q(P)=D(P,P)</math>. Таким образом между афинно-квадратичными функциями и симметричными биаффинными есть взаимооднозначное соответствие.
Через заданную аффинно-квадратичную функцию <math>Q</math> соответствующая симметричная биаффинная функция <math>D</math> может быть выражена следующим образом:
- <math>D(P,R)=2Q \left( \frac{1}{2}P+\frac{1}{2}R \right) - \frac{1}{2}Q(P) - \frac{1}{2}Q(R)</math>
Эта формула называется формулой поляризации (аналогично случаю квадратичных и билинейных форм). Суммы точек с коэффициентами здесь представляют собой аффинную комбинацию.
Все остальные биаффинные функции, определяющие данную аффинно-квадратичную функцию, получаются прибавлением к соответствующей симметричной произвольной антисимметричной биаффинной функции.
Преобразование при смене начала отсчёта
Согласно второму определению, для некоторой точки <math>O \in S</math> любую аффинно-квадратичную функцию можно представить в виде <math>Q(x+O)=q(x) + l(x) + c</math>, где <math>q</math> — квадратичная форма на <math>V</math>, <math>l</math> — линейная форма на <math>V</math>, <math>c</math> — фиксированная константа <math>\mathbb{K}</math>. Обратно, функция, задаваемая для определённой точки <math>O</math> выражением <math>Q(x+O)=q(x) + l(x) + c</math>, является аффинно-квадратичной. Точку <math>O</math> называют началом отсчёта.
На самом деле аффинно-квадратичная функция для любой точки <math>O \in S</math> может быть задана в виде <math>Q(x+O)=q(x) + l(x) + c</math>. При этом квадратичная форма <math>q</math> для заданной аффинно-квадратичной функции определена однозначно и не зависит даже от выбора точки <math>O</math>. Эта форма называется квадратичной частью <math>Q</math>. Матрица этой формы называется основной матрицей <math>Q</math>. Эта же матрица, по совместительству, является основной матрицей соответствующей симметричной биаффинной функции. Ранг основной матрицы называется малым рангом аффинно-квадратичной функции.Шаблон:Sfn
Форма <math>l</math> и константа <math>c</math> для заданной точки <math>O</math> определены однозначно, однако для разных точек <math>O</math> могут отличаться. Форма <math>l</math> называется линейной частью <math>Q</math> относительно точки <math>O</math>, а константа <math>c</math> — постоянной частью относительно точки <math>O</math>.Шаблон:Sfn
При смене точки <math>O</math> линейная и постоянная часть преобразуются следующим образом. Пусть <math>O'=O+a</math> — новая точка, тогда <math>Q(O'+x)=q(x)+l'(x)+c'</math> для некоторых <math>l'</math> и <math>c'</math>. Эти <math>l'</math> и <math>c'</math> выражаются так:
- <math>l'(x)=2b(a,x)+l(x)</math>
- <math>c'=q(a)+l(a)+c</math>,
где <math>b</math> — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме <math>q</math>.Шаблон:Sfn
Преобразование при смене репера
Согласно первому определению, любую аффинно-квадратичную функцию в некотором репере можно представить в виде квадратичного многочлена (или многочлена меньшей степени) от координат. Верно большее: для любой аффинно-квадратичной функции это можно сделать в любом репере. Обратно, если функция задаётся квадратичным многочленом от координат, то она является аффинно-квадратичной.
Формулу в координатах можно получить из формулы через квадратичную форму. Пусть <math>(O, e)</math> — репер, <math>A</math> — матрица квадратичной части в базисе <math>e</math>, <math>B</math> — вектор-строка координат линейной части относительно <math>O</math> в базисе <math>e</math>, <math>c</math> — постоянная часть относительно <math>O</math>. Тогда:
- <math>Q(P)=x^TAx+Bx+c</math>
С использованием понятия расширенной матрицы это выражение может быть записано ещё проще. Расширенной матрицей аффинно-квадратичной функции называется матрица
- <math>A'=\begin{pmatrix} A & \dfrac{B^T}{2} \\ \dfrac{B}{2} & c \end{pmatrix}</math>
Тогда
- <math>Q(P)=\begin{pmatrix} x^T & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & \dfrac{B^T}{2} \\ \dfrac{B}{2} & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}=x'^TA'x'</math>
Правило преобразования коэффициентов при переходе к другому реперу также довольно просто записывается через расширенные матрицы. Пусть <math>T</math> — матрица перехода от старого базиса к новому, <math>t</math> — вектор-столбец координат нового начала отсчёта в старом репере. Тогда
- <math>A'_2=\begin{pmatrix} A_2 & \dfrac{B'^T}{2} \\ \dfrac{B'}{2} & c' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} T^T & 0 \\ t^T & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 & \dfrac{B^T}{2} \\ \dfrac{B}{2} & c \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} T & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=T'^TA'_1T'</math> Ранг расширенной матрицы называется большим рангом аффинно-квадратичной функции.
Связанные определения
- Аффинная квадрика — множество <math>X(Q)=\{P \in S: Q(P)=0\}</math>.
- Аффинно-квадратичные функции <math>Q_1</math> и <math>Q_2</math> называются аффинно эквивалентными, если существует такое аффинное преобразование <math>F</math>, что <math>Q_1(F(P)) \equiv Q_2(P)</math>.
- Аффинно-квадратичные функции <math>Q_1</math> и <math>Q_2</math> на метрическом аффинном пространстве называются метрически эквивалентными, если существует такое движение <math>F</math>, что <math>Q_1(F(P)) \equiv Q_2(P)</math>.
Центр
Центральной точкой аффинно-квадратичной функции <math>Q</math> называется такая точка <math>O</math> из <math>S</math>, что для любого <math>x</math> из <math>V</math> выполняется <math>Q(O+x)=Q(O-x)</math>. Множество всех центральных точек называется центром аффинно-квадратичной функцииШаблон:Sfn (некоторые авторы придерживаются иной терминологии: центрами они называют сами точки, а не их множество.Шаблон:Sfn Далее данная статья будет придерживаться первой терминологии).
Если центр <math>Q</math> непуст, то такая аффинно-квадратичная функция называется центральной, а в противном случае нецентральной.
Точка <math>O</math> является центром аффинно-квадратичной функции тогда и только тогда когда линейная часть относительно этой точки тождественно равна <math>0</math>Шаблон:Sfn. Шаблон:Hider
Множество центров аффинно-квадратичной функции в координатах есть решение СЛАУ <math>Ax=-\frac{B^T}{2}</math> Шаблон:Hider
Квадратичная часть нецентральной аффинно-квадратичной функции вырождена (следует из предыдущего свойства и теоремы Кронекера — Капелли). Множество центров центральной аффинно-квадратичной функции является аффинным подпространством пространства <math>S</math> размерности <math>\operatorname{dim}{S} -\operatorname{rk}{q}</math>, а его направляющее подпространство есть <math>\operatorname{ker}{q}</math>. Если квадратичная часть невырождена, то множество центров состоит из одной точки.Шаблон:Sfn
Нецентральная аффинно-квадратичная функция имеет хотя бы один нуль (следует из её канонического вида, который будет выведен далее).
Канонический вид
Канонический вид для центральной и нецентральной аффинно-квадратичной функции существенно отличаются друг от друга.
Центральный случай
Для приведения центральной аффинно-квадратичной функции к каноническому виду достаточно взять в качестве начала отсчёта любой из её центров, а в качестве базиса канонический базис для её квадратичной части. Тогда линейная часть обнулится, квадратичная примет канонический вид и аффинно-квадратичная функция примет вид:
- <math>Q(P)=\lambda_1 x_1 ^2+...+\lambda_k x_k^2+c_0</math>, где <math>1 \leq k \leq n</math>, все <math>\lambda_i \neq 0</math>.
Значение <math>c_0</math> от выбора конкретного центра не зависит.
Нецентральный случай
Выберем базис, в котором квадратичная часть имеет канонический вид. Это приведёт аффинно-квадратичную функцию к виду <math>Q(P)=\sum_{i=1}^k\lambda_iy_i^2+\sum_{i=1}^n\mu_{i}y_i+c_0=\sum_{i=1}^k\lambda_i(y_i+\frac{\mu_i}{2\lambda_i})^2+\sum_{i=k+1}^n\mu_{i}y_i+c'_0</math>, где <math>k<n</math>, так как квадратичная часть нецентральной аффинно-квадратичной функции вырождена. Если бы <math>\mu_{k+1},...,\mu_n=0</math>, то замена <math>z_i=y_i+\frac{\mu_i}{2\lambda_i}</math> при <math>i=1,...,k</math>, <math>z_i=y_i</math> при <math>i=k+1,...,n</math> приведёт <math>Q</math> к виду <math>\sum_{i=1}^k\lambda_i z_i^2+c'_0</math>, где линейная часть тождественно равна нулю, а значит, начало отсчёта является центром. Получается хотя бы один из коэффициентов <math>\mu_{k+1},...,\mu_n</math> не равен нулю и можно сделать замену <math>x_i=y_i+\frac{\mu_i}{2\lambda_i}</math> при <math>i=1,...,k</math>, <math>x_{k+1}=\mu_{k+1}y_{k+1}+...+\mu_ny_n+c'_0</math>, <math>x_i=y_i</math> при <math>i=k+2,...,n</math>, которая приведёт аффинно-квадратичную функцию к каноническому виду:
- <math>Q(P)=\lambda_1 x_1^2+...+\lambda_k x_k^2+x_{k+1}</math>, где <math>1 \leq k<n</math>, все <math>\lambda_i \neq 0</math>.
Вопрос о единственности канонического вида аффинно-квадратичной функции сводится к вопросу о единственности канонического вида её квадратичной части. Если две аффинно-квадратичные функции имеют одинаковый канонический вид, то они аффинно эквивалентны.Шаблон:Sfn
Нормальный вид
Нормальный вид аффинно-квадратичной функции отличается от канонического тем, что квадратичная часть в нём имеет нормальный вид. Пусть <math>q(x) = \lambda_1 x_1 ^2+...+\lambda_k x_k^2</math>, где все <math>\lambda_i \neq 0</math> — нормальный вид <math>q</math>. Тогда нормальный вид <math>Q</math>:
- <math>Q(P)=\lambda_1 x_1 ^2+...+\lambda_k x_k^2+c_0</math>, где <math>1 \leq k \leq n</math> в центральном случае,
- <math>Q(P)=\lambda_1 x_1^2+...+\lambda_k x_k^2+x_{k+1}</math>, где <math>1 \leq k < n</math> в нецентральном случае
Конкретный произвол в выборе коэффициентов <math>\lambda_i</math> зависит от поля <math>\mathbb{K}</math> и должен быть рассмотрен в каждом отдельном случае.
Случай <math>\mathbb{K} = \mathbb{C}</math>
- <math>Q(P)=x_1 ^2+...+x_k^2+c_0</math> в центральном случае
- <math>Q(P)=x_1^2+...+x_k^2+x_{k+1}</math> в нецентральном случае
Случай <math>\mathbb{K} = \mathbb{R}</math>
- <math>Q(P)=x_1 ^2+...+x_m^2-x_{m+1}^2-...-x_k^2+c_0</math>, где <math>0 \leq m \leq k</math> в центральном случае
- <math>Q(P)=x_1^2+...+x_m^2-x_{m+1}^2-...-x_k^2+x_{k+1}</math>, где <math>0 \leq m \leq k</math> в нецентральном случае
Нормальный вид аффинно-квадратичной функции единственен. Две аффинно-квадратичные функции имеют одинаковый нормальный вид тогда и только тогда когда они аффинно эквивалентны.Шаблон:Sfn
Приведение к главным осям
В евклидовом, унитарном и иных аффинных пространствах, ассоциированных с векторным пространством со скалярным произведением может быть поставлена задача нахождения прямоугольной системы координат, в которой аффинно-квадратичная форма имеет наиболее простой вид. Здесь будет рассмотрена таковая для евклидова пространства.
Центральный случай
В качестве начала отсчёта нужно взять любой центр, а в качестве базиса ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Тогда аффинно-квадратичная функция будет приведена к виду:
- <math>Q(P)=\lambda_1 x_1 ^2+...+\lambda_k x_k^2+c_0</math>, где <math>1 \leq k \leq n</math>, все <math>\lambda_i \neq 0</math>
причём коэффициенты определены однозначно с точностью до перестановки (это следует из единственности вида квадратичной формы в главных осях).
Нецентральный случай
В нецентральном случае такая прямоугольная система координат, в которой аффинно-квадратичная функция имеет канонический вид, существует не всегда, однако если немного изменить его, то можно получить вид, который существует и единственен для любой функции.
Для приведения к такому виду нужно сначала привести квадратичную часть к главным осям. Получим: <math>Q(P)=\sum_{i=1}^k\lambda_iy_i^2+\sum_{i=1}^n\mu_{i}y_i+c_0=\sum_{i=1}^k\lambda_i(y_i+\frac{\mu_i}{2\lambda_i})^2+\sum_{i=k+1}^n\mu_{i}y_i+c'_0</math>.
Затем сделать следующую замену: <math>x_i=y_i+\frac{\mu_i}{2\lambda_i}</math> при <math>i=1,...,k</math>, <math>x_{k+1}=\frac{\mu_{k+1}y_{k+1}+...+\mu_ny_n+c'_0}{\sqrt{\mu_{k+1}^2+...+\mu_n^2}}</math>, оставшиеся переменные взять так, чтобы замена была ортогональной (матрицу замены нужно достроить так, чтобы она была ортогональной. Это возможно сделать, так как первые <math>k</math> строк уже образуют ортонормированную систему и достаточно просто её достроить до ортонормированного базиса). Окончательный вид получается:
- <math>Q(P)=\lambda_1 x_1^2+...+\lambda_k x_k^2+px_{k+1}</math>, где <math>1 \leq k<n</math>, все <math>\lambda_i \neq 0</math>, <math>p>0</math>.
Такой вид также является единственным с точностью до перестановки коэффициентов <math>\lambda_i</math>.
Две аффинно-квадратичных функции метрически эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый вид в главных осях.Шаблон:Sfn
Применение
Аффинно-квадратичные функции используются для классификации квадрик. К примеру: с помощью них можно получить стандартную аффинную или метрическую классификацию кривых и поверхностей второго порядка в евклидовом пространствеШаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Литература
