Русская Википедия:Биномиальный ряд
Биномиальный ряд — это Ряд Тейлора для функции <math>f</math>, заданной выражением <math>f(x)=(1+x)^{\alpha},</math> где <math> \alpha \in \Complex</math> является произвольным комплексным числом, а |x| < 1. Ряд в явном виде,
и биномиальный ряд справа в формуле (Шаблон:EquationNote) является степенным рядом, выраженном в терминах (обобщённых) биномиальных коэффициентов
- <math>\binom{\alpha}{k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}. </math>
Специальные случаи
Если <math>\alpha</math> является неотрицательным целым числом n, то <math>(n + 2)</math>-й член и все последующие члены в последовательности равны 0, поскольку каждый из них содержит множитель <math>(n-n)</math>, так что в этом случае ряд конечен и образует алгебраическую формулу бинома Ньютона.
Следующие выражения верны для любого комплексного <math>\beta</math>, но они особенно полезны для работы с отрицательными целыми степенями в формуле (Шаблон:EquationNote):
- <math>\frac{1}{(1-z)^{\beta+1}} = \sum_{k=0}^\infty {k+\beta \choose k}z^k.</math>
Чтобы это доказать, подставим <math>x=-z</math> в выражение (Шаблон:EquationNote) и применим тождество для биномиальных коэффициентов
- <math>\binom{-\beta-1}{k} = (-1)^k \binom{k+\beta}{k}.</math>
Сходимость
Условия сходимости
Сходится ли ряд в формуле (Шаблон:EquationNote), зависит значений комплексных чисел <math>\alpha</math> и Шаблон:Mvar. Точнее:
- Если <math>|x| < 1</math>, ряд сходится абсолютно для любого комплексного <math>\alpha</math>.
- Если <math>\left |x\right | = 1</math> ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда либо <math>Re(\alpha) > 0</math>, либо <math>\alpha = 0</math>, где <math>Re(\alpha)</math> означает вещественную часть <math>\alpha</math>.
- Если <math>\left |x\right | = 1</math> и <math>x \ne -1</math> ряд сходится тогда и только тогда, когда <math>Re(\alpha) > -1</math>.
- Если <math>x = -1</math> ряд сходится тогда и только тогда, когда либо <math>Re(\alpha) > 0</math>, либо <math>\alpha = 0</math>.
- Если <math>\left |x\right | > 1</math> ряд расходится, за исключением случая, когда <math>\alpha</math> — неотрицательное целое число (в этом случае ряд становится конечной суммой).
В частности, если <math>\alpha</math> не является отрицательным целым числом, ситуация на границе круга сходимости Шаблон:Nowrap приведена ниже:
- Если <math>Re(\alpha) > 0</math> ряд сходится абсолютно.
- Если <math>-1 < Re(\alpha) \leqslant 0</math> ряд сходится условно, если <math>x \ne -1</math>, и расходится, если <math>x =-1</math>.
- Если <math>Re(\alpha) \leqslant -1</math> ряд расходится.
Тождества, используемые в доказательстве
Следующее выполняется для любого комплексного числа <math>\alpha</math>:
- <math>{\alpha \choose 0} = 1,</math>
Шаблон:NumBlk Если <math>\alpha</math> не является неотрицательным целым (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются, когда <math>k</math> больше <math>\alpha</math>), имеет место следующее асимптотическое соотношение для биномиальных коэффициентов в терминах «o» малое:
Это, фактически, эквивалентно определению Эйлера для гамма-функции:
- <math>\Gamma(z) = \lim_{k \to \infty} \frac{k! \; k^z}{z \; (z+1)\cdots(z+k)}, </math>
откуда немедленно следуют грубые границы
Шаблон:NumBlk\leqslant \left|{\alpha \choose k}\right| \leqslant \frac {M} {k^{1+\operatorname{Re}\alpha}}, </math>|Шаблон:EquationRef}} для некоторых положительных констант m и M.
Формула (Шаблон:EquationNote) для обобщённых биномиальных коэффициентов может быть переписана как Шаблон:NumBlk
Доказательство
Для доказательства (i) и (v) применим признак Д’Аламбера и используем формулу (Шаблон:EquationNote) выше, чтобы показать, что когда <math>\alpha</math> не является неотрицательным целым, радиус сходимости в точности равен 1. Утверждение (ii) следует из формулы (Шаблон:EquationNote) путём сравнения с обобщённым гармоническим рядом
- <math> \sum_{k=1}^\infty \; \frac {1} {k^p}, </math>
с <math>p=1+\operatorname{Re}\alpha</math>. Для доказательства (iii) сначала используем формулу (Шаблон:EquationNote), чтобы получить
а затем используем (ii) и снова формулу (Шаблон:EquationNote) для доказательства сходимости правой части, когда <math>\operatorname{Re}\alpha>-1</math>. С другой стороны, ряд не сходится, если <math>|x|=1</math> and <math> \operatorname{Re} \alpha \leqslant - 1 </math>, снова по формуле (Шаблон:EquationNote). Иначе можно заметить, что для всех <math>j</math>, <math display="inline"> \left |\frac {\alpha + 1}{j} - 1 \right | \geqslant 1 - \frac {\operatorname{Re} \alpha + 1}{j} \geqslant 1 </math>. Тогда, по формуле (Шаблон:EquationNote), для всех <math display="inline"> k, \left|{\alpha \choose k} \right| \geqslant 1 </math>. Это завершает доказательство утверждения (iii). Перейдём к (iv) и используем тождество (Шаблон:EquationNote) выше с <math>x=-1</math> и <math>\alpha-1</math> вместо <math>\alpha</math>, и используем формулу (Шаблон:EquationNote), чтобы получить
- <math>\sum_{k=0}^n \; {\alpha\choose k} \; (-1)^k = {\alpha-1 \choose n} \;(-1)^n= \frac{1} {\Gamma(-\alpha+1)n^{\alpha}}(1+o(1))</math>
при <math>n\to\infty</math>. Утверждение (iv) следует теперь из асимптотического поведения последовательности <math>n^{-\alpha} = e^{-\alpha \log(n)}</math>. (А именно, <math> \left|e^{-\alpha\log n}\right| = e^{-\operatorname{Re}\alpha\, \log n}</math> определённо сходится к <math>0</math>, если <math>\operatorname{Re}\alpha>0</math> и расходится к <math>+\infty</math>, если <math>\operatorname{Re}\alpha<0</math>. Если <math>\operatorname{Re}\alpha=0</math>, то <math>n^{-\alpha} = e^{-i \operatorname{Im}\alpha\log n}</math> и сходится тогда и только тогда, когда последовательность <math> \operatorname{Im}\alpha\log n </math>, что определённо выполняется, если <math>\alpha=0</math>, но неверно, если <math>\operatorname{Im}\alpha \neq 0</math>).
Суммирование биномиальных рядов
Обычный подход к вычислению суммы биномиального ряда следующий. Если продифференцировать почленно биномиальный ряд в круге сходимости <math>\left |x\right | < 1</math> и использовать формулу (Шаблон:EquationNote), можно получить, что сумма ряда является аналитической функцией, решающей Обыкновенное дифференциальное уравнение <math>(1 + x)u'(x) = \alpha u(x)</math> с начальным значением <math>u(0) = 1</math>. Единственным решение этой задачи является функция <math>u(x) = (1 + x)^\alpha</math>, которая, поэтому, и является суммой биномиального ряда, по меньшей мере для <math>\left |x\right |<1</math>. Равенство расширяется до <math>\left |x\right | = 1</math>, если ряд сходится, согласно следствию из теоремы Абеля и непрерывности <math>(1 + x)^\alpha</math>.
История
Первые результаты о биномиальном ряде для неположительных целых степеней получены Исааком Ньютоном при изучении площадей, ограниченных определёнными кривыми. Джон Валлис нашёл на основе этой работы, рассматривая выражения вида <math>y = (1-x^2)^m</math>, где m дробно, что (выражаясь современным языком) последующие коэффициенты <math>c_k</math> при <math>(-x^2)^k</math> получаются путём умножения предыдущего коэффициента на <math>\tfrac{m - (k - 1)}{k}</math> (как в случае целых степеней), посредством чего дал формулу для этих коэффициентов. Он в явном виде записал следующие выраженияШаблон:Efn
- <math>(1-x^2)^{1/2}=1-\frac{x^2}2-\frac{x^4}8-\frac{x^6}{16}\cdots</math>
- <math>(1-x^2)^{3/2}=1-\frac{3x^2}2+\frac{3x^4}8+\frac{x^6}{16}\cdots</math>
- <math>(1-x^2)^{1/3}=1-\frac{x^2}3-\frac{x^4}9-\frac{5x^6}{81}\cdots</math>
Биномиальный ряд, поэтому, иногда называется биномиальной теоремой Ньютона. Ньютон не привёл никаких доказательств и никаких указаний о природе данного ряда. Позднее, в 1826 году Нильс Хенрик Абель обсуждал ряд в статье, опубликованной в журнале Крелле и рассмотрел важные вопросы сходимостиШаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Шаблон:Notelist Шаблон:Примечания
Литература
Ссылки
Шаблон:Разделы вещественного анализа Шаблон:Rq
