Русская Википедия:Бюджетное множество
Бюджетное множество — понятие, используемое в микроэкономике (в теории потребительского поведения), обозначающее подмножество множества допустимых альтернатив (потребительских наборов) с учётом экономических (бюджетных) ограничений, под которыми понимаются ограничения расходов потребителя его доходами и (или) первоначальными запасами экономических благ.
Формальное определение
Пусть <math>X</math> — множество (потенциально) допустимых альтернатив (потребительских наборов), <math>p</math> — неотрицательный вектор цен экономических благ, <math>R</math> — доход потребителя. Тогда бюджетное множество определяется как множество альтернатив <math>x \in X</math>, для которых выполнено неравенство <math>px \leqslant R</math>, то есть:
<math>B(p,R)=\{x \in X|px \leqslant R \}</math>
Бюджетное ограничение может быть связано с начальным запасом благ <math>x_0</math>, то есть доходом в данном случае может быть только доход от продажи каких-то начальных запасов. Тогда бюджетное множество определяется следующим образом:
<math>B^*(p,x_0)=\{x \in X|px \leqslant px_0 \}=\{x \in X|p(x-x_0) \leqslant 0 \}</math>
То есть стоимость покупок не превышает стоимость продаж.
Естественно, возможно также совмещение, то есть доход может быть как внешним, так и связанным с начальными запасами.
Свойства
В первую очередь бюджетные множества предполагаются непустыми. В случае бюджетного множества <math>B(p,R)</math> для этого достаточно, чтобы доход <math>R</math> был больше минимально необходимого для приобретения хотя бы одного допустимого набора, то есть <math>R>\inf_{x \in X} px</math>. В случае бюджетного множества <math>B^*(p,x_0)</math> это условие означает лишь то, что начальный вектор принадлежит допустимому множеству <math>X</math>, что изначально предполагается.
Бюджетное множество является замкнутым, ограниченным) и выпуклым множеством. Для ограниченности формально необходимо (и достаточно), чтобы вектор цен был строго больше нуля (то есть все цены должны быть положительными). Замкнутость и ограниченность бюджетного множества обеспечивают существование решения задачи потребителя (см. ниже).
Бюджетное множество <math>B(p,R)</math> является «однородным нулевой степени», то есть если цены и доход умножить на одно и то же число, то получим то же бюджетное множество. В случае бюджетного множества <math>B^*(p, x_0)</math> это означает «однородность нулевой степени» по вектору цен.
При фиксированном векторе цен бюджетное множество с меньшим доходом является подмножеством бюджетного множества с большим доходом. При фиксированном доходе бюджетное множество с большими ценами является подмножеством бюджетного множества с меньшими ценами.
Задача потребителя
Бюджетное множество используется в так называемой прямой (маршаллианской) задаче потребителя, заключающейся в максимизации функции полезности <math>u(x)</math> на бюджетном множестве альтернатив <math>B</math>:
<math> \begin{cases} u(x) \rightarrow \max \\ x \in B \subset X \end{cases} </math>
В частности, для бюджетного ограничения по доходу задача имеет вид:
<math> \begin{cases} u(x) \rightarrow \max \\ px \leqslant R, x \in X \end{cases} </math>
При непрерывной функции полезности с учётом свойств компактности (ограниченности и замкнутости) бюджетного множества задача потребителя всегда имеет решение.
См. также
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга(Учебники экономического факультета МГУ и. М.В. Ломоносова)
- Шаблон:Книга
