Русская Википедия:Весовая матрица
В математике, весовая матрица <math>W</math> порядка <math>n</math> с весом <math>w</math> — это <math>n \times n</math> <math>(0,1,-1)</math>-матрица, такая что <math>WW^{T}=wI_n</math>, где <math>W^T</math> — транспонирование матрицы <math>W</math>, а <math>I_n</math> — единичная матрица порядка <math>n</math>. Весовую матрицу также называют весовой схемой.
Для удобства весовую матрицу порядка <math>n</math> и веса <math>w</math> часто обозначают <math>W(n,w)</math>.
<math>W(n,n-1)</math> эквивалентна конференс-матрице, а <math>W(n,n)</math> — матрице Адамара.
Свойства
Некоторые свойства следуют непосредственно из определения:
- Строки весовой матрицы попарно ортогональны. Аналогично для столбцов.
- Каждая строка и каждый столбец содержит в точности <math>w</math> ненулевых элементов.
- <math>W^{T}W = wI</math>, так как из определения следует <math>W^{-1} = w^{-1}W^{T}</math> (предполагается, что вес не равен 0).
- <math>\mathrm{det}(W)=\pm w^{n/2}</math>, где <math>det(W)</math> — определитель матрицы <math>W</math>.
Две весовые матрицы считаются эквивалентными, если одна может быть получена из другой, посредством ряда перестановок и умножений строк и столбцов исходной матрицы на минус единицу. Весовые матрицы полностью классифицированы для случаев, когда <math>w \leq 5</math>, а также всех случаев, когда <math>n \leq 15</math>. [1]. За исключением этого, очень мало известно о классификации циркулянтных весовых матриц.
Примеры
Отметим, что при отображении весовых матрицы используется символ <math>-</math> для −1.
Приведём два примера: <math>W_2</math> является <math>W(2,2)</math> весовой матрицей (матрицей Адамара), а <math>W_7</math> — <math>W(7,4)</math> весовой матрицей.
- <math>W_2 = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -\end{pmatrix}</math>
- <math>W_7 = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - & 0 & - & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - & 0 & - & - \\ 0 & 1 & - & 0 & 0 & 1 & - \\ 0 & 1 & 0 & - & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - & - & 1 & 0 \end{pmatrix}</math>
Открытые вопросы
Существует множество открытых вопросов о весовых матрицах. Главным из них является их существование: для каких чисел n и w существует W(n,w)? Многое в этом вопросе остаётся неизвестным. В равной степени важным, но часто неисследованным вопросом является их подсчёт: для заданных n и w, сколько существует матриц W(n,w)? Более глубоко, можно задаться вопросом классификации с точки зрения структуры, но на сегодняшний день это далеко выходит за рамки наших возможностей, даже для матриц Адамара или конференс-матриц.
Ссылки
- On Hotelling's Weighing Problem, Alexander M. Mood, Ann. Math. Statist. Volume 17, Number 4 (1946), 432-446.
Примечания
- ↑ M. Harada, A. Munemasa, On the classification of weighing matrices and self-orthogonal codes, 2011, http://arxiv.org/abs/1011.5382 Шаблон:Wayback.
