Русская Википедия:Вещественные матрицы 2 × 2
Ассоциативная алгебра Шаблон:Gaps вещественных матриц обозначается <math>M(2, \R)</math>. Две матрицы p и q в <math>M(2, \R)</math> имеют сумму <math>p + q</math>, определяемую сложением матриц. Произведение матриц Шаблон:Nowrap образуется скалярным произведением строк и столбец сомножителей через операцию умножения матриц. Для
- <math>q =\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}, </math>
пусть
- <math>\quad q^{*} =\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. </math>
Тогда <math>q q^* = q^*q = (ad - bc) E</math>, где <math>E</math> — Шаблон:Gaps единичная матрица. Вещественное число <math>ad - bc</math> называется определителем матрицы q. Если <math>ad - bc \ne 0</math>, q является невырожденной матрицей, и в этом случае
- <math>q^{-1} = q^*\,/\,(ad - bc).</math>
Набор всех таких обратимых матриц формирует полную линейную группу <math>GL(2, \R)</math>. В терминах абстрактной алгебры <math>M(2, \R)</math> с операциями сложения и умножения образуют кольцо, а <math>GL(2, \R)</math> является его группой единиц. <math>M(2, \R)</math> является четырёхмерным векторным пространством, так что эта алгебра считается ассоциативной. Она изоморфна (как кольцо) Шаблон:Не переведено 5, но с другой структурой.
Шаблон:Gaps вещественные матрицы находятся в один-к-одному соответствии с линейными отображениями двумерной прямоугольной системы координат в себя по правилу
- <math>\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}ax + by \\ cx + dy\end{pmatrix}.</math>
Структура
Внутри <math>M(2, \R)</math> умножение на вещественные числа единичной матрицы E можно считать вещественной прямой. Эта вещественная прямая является местом, где все коммутативные подкольца сходятся вместе:
Пусть <math>P_m = \{xE + ym : x, y \in \R\}</math> где <math>m^2 \in \{ -E, 0, E \}</math>. Тогда <math>P_m</math> является коммутативным подкольцом и <math>M(2, \R) = \cup P_m</math>, где объединение осуществляется по всем m, таким, что <math>m^2 \in \{ -E, 0, E \}</math>.
Для выявления таких матриц m сначала возведём в квадрат матрицу общего вида:
- <math>\begin{pmatrix}aa+bc & ab+bd \\ac+cd & bc+dd \end{pmatrix}</math>.
Если a + d = 0, эта матрица становится диагональной. Тогда предполагаем d = −a при поиске матриц m, образующих коммутативные подкольца. Если <math>mm = -E</math>, то получаем <math>bc = -1 - aa</math>, уравнение гиперболического параболоида в пространстве параметров <math>(a, b, c)</math>. Такая матрица m выступает в качестве мнимой единицы. В этом случае подкольцо <math>P_m</math> изоморфно полю (обычных) комплексных чисел.
Если <math>mm = +E</math>, матрица m является инволютивной матрицей. Тогда уравнение <math>bc = +1 - aa</math> также даёт гиперболический параболоид. Если матрица является идемпотентной, она должна находиться в Pm и в этом случае подкольцо Pm изоморфно кольцу двойных чисел.
В случае нильпотентной матрицы mm = 0 получается, когда только одна из величин b или c не равна нулю, а коммутативное подкольцо Pm является тогда копией плоскости дуальных чисел.
Если <math>M(2, \R)</math> преобразуется Шаблон:Нп5, эта структура изменяется в Шаблон:Нп5, где множества квадратных корней из E и -E принимают одинаковые формы в виде гиперболоидов.
Сохраняющее площади отображение
Шаблон:Main Первое отображение отображает один дифференциальный вектор в другой:
- <math>
\begin{pmatrix}du \\ dv \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p & r\\ q & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix}dx \\ dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p\, dx + r\, dy \\ q\, dx + s\, dy\end{pmatrix}. </math>
Площади измеряются с плотностью <math>dx \wedge dy</math>, дифференциальной 2-формой, которая использует внешнюю алгебру. Преобразованная плотность равна
- <math>
\begin{align} du \wedge dv & {} = 0 + ps\ dx \wedge dy + qr\ dy \wedge dx + 0 \\ & {} = (ps - qr)\ dx \wedge dy = (\det g)\ dx \wedge dy. \end{align}</math>
Тогда сохраняющие площади отображения представляют собой группу <math>SL(2, \R)</math><math> = \{g \in M(2, \R) : det(g) = 1\}</math>, специальную линейную группу. Если задана вышеупомянутая структура, любой такой g лежит в коммутативном подкольце Pm, представляющем вид комплексной плоскости, соответствующей квадрату m. Поскольку <math>g g^* = E</math>, возможны три варианта:
- <math>mm = -E</math> и g лежит на окружности евклидовых поворотов
- <math>mm = E</math> и g лежит на гиперболе Шаблон:Нп5
- <math>mm = 0</math> и g лежит на прямой Шаблон:Нп5
Обсуждая Шаблон:Нп5, Рафаэль Артци сделал аналогичное деление случаев планарного линейного отображения в своей книге Линейная геометрия (1965).
Функции на 2 × 2 вещественных матрицах
Коммутативные подкольца алгебры <math>M(2, \R)</math> определяют теорию функций. В частности, три типа подплоскостей имеют собственные алгебраические структуры, которые определяют значение алгебраических выражений. Соглашения для функции «квадратный корень» и «логарифмической функции» помогают проиллюстрировать ограничения, вытекающие из свойств каждого типа подплоскостей Pm, описанных выше. Концепция Шаблон:Не переведено 5 группы единиц подкольца Pm приводит к полярному разложению элементов группы единиц:
- Если <math>mm = -E</math>, то <math>z = \rho \exp({\theta}m)</math>.
- Если <math>mm = 0</math>, то <math>z = \rho \exp(s m)</math> или <math>z = -\rho \exp(s m)</math>.
- Если <math>mm = E</math>, то <math>z = \rho \exp(a m)</math>, или <math>z = -\rho \exp(a m)</math> или <math>z = m \rho \exp(a m)</math> или <math>z = -m \rho \exp(a m)</math>.
В первом случае <math>\exp(\theta m) = \cos(\theta) + m \sin(\theta)</math>. В случае дуальных чисел <math>\exp(s m) = 1 + s m</math>. Наконец, в случае расщепляемых комплексных чисел имеется четыре компоненты в группе единиц. Единичная компонента параметризуются переменной ρ и <math>\exp(a m) = \mathrm{ch}\,a + m \mathrm{sh}\,a</math>.
Теперь <math>\sqrt{\rho \exp (a m)} = \sqrt{\rho} \exp (a m /2)</math> независимо от подплоскости Pm, но аргументы функции должны быть взяты из единичной компоненты её группы единиц. Половина плоскости теряется в случае структуры дуальных чисел. Три четверти плоскости нужно исключить в случае структуры двойных чисел.
Аналогично, если <math>\rho \exp(a m)</math> является элементом единичной компоненты группы единиц плоскости, ассоциированной с Шаблон:Gaps матрицей m, то значением логарифмической функции будет <math>\log \rho + a m</math>. На область определения логарифмической функции накладываются те же ограничения, что и на функцию «квадратный корень», описанную выше, — половина или три четверти Pm должны быть исключены в случаях mm = 0 или <math>mm = E</math>.
Дальнейшее описание теории для структуры <math>\Complex</math> можно найти в статье «Комплексные функции», а для структуры расщепляемых комплексных чисел — в статье Шаблон:Не переведено 5.
2 × 2 вещественные матрицы как комплексные числа
Шаблон:Anchor Любую Шаблон:Gaps вещественную матрицу можно интерпретировать как одно из трёх типов (обобщённыхШаблон:Sfn) комплексных чисел — стандартные комплексные числе, дуальные числа и расщепляемые комплексные числа. Выше, алгебра Шаблон:Gaps матриц структурирована как объединение комплексных плоскостей, разделяющих одну и ту же вещественную ось. Эти плоскости представляются как коммутативные подкольца Pm. Мы можем определить, какой комплексной плоскости принадлежит данная Шаблон:Gaps матрица, и классифицировать, какого рода комплексные числа представляет данная плоскость.
Рассмотрим Шаблон:Gaps матрицу
- <math> z = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}.</math>
Мы ищем комплексную плоскость Pm, содержащую матрицу z.
Как было отмечено выше, квадрат матрицы z диагонален, если a + d = 0. Матрица z должна быть выражена в виде суммы единичной матрицы E с коэффициентом и матрицы на гиперплоскости a + d = 0. Проектируя z на все эти подпространства <math>\R^4</math>, получим
- <math> z = x I + n ,\quad x = \frac{a + d}{2}, \quad n = z - x I .</math>
Более того,
- <math>n^2=pI</math>, где <math>p=\frac{(a-d)^2}{4}+bc</math>.
Тогда z принадлежит одному из трёх типов комплексных чисел:
- Если p < 0, то это обычное комплексное число:
- Пусть <math>q = 1/\sqrt{-p}, \quad m = qn</math>. Тогда <math>m^2= - I, \quad z = x I + m \sqrt{-p}</math>.
- Если p = 0, то это дуальное число:
- <math>z=xI+n</math>.
- Если p > 0, то z является двойным числом:
- Пусть <math>q=1/\sqrt{p}, \quad m = q n</math>. Тогда <math>m^2 = + I, \quad z = x I + m \sqrt{p}</math>.
Аналогично, Шаблон:Gaps может быть выражена в полярных координатах с учётом, что имеются две связные компоненты группы единиц на плоскости дуальных чисел и четыре компоненты на плоскости двойных чисел.
Примечания
Литература
