Русская Википедия:Винеровская теория нелинейных систем
Винеровская теория нелинейных систем — подход к решению задач анализа и синтеза нелинейных систем с постоянными параметрами, при котором в качестве математической модели нелинейной системы рассматривается функционал, который ставит в соответствие каждой функции (входному сигналу системы за рассматриваемое время) число (мгновенный выходной сигнал системы).
Пояснения
Н. Винер впервые применил описание нелинейных систем при помощи явного описания зависимости между входом и выходом при помощи теории рядов Вольтерры. Этот подход сводит задачу описания системы с заданным классом входных сигналов к задаче построения функционала, заданного на некотором классе функций. В основе винеровского метода лежит описание аналитических функционалов с помощью ряда Вольтерры:
- <math>y(t)=h_0+\int \limits_\eta h_1(\tau) x(t - \tau) \, d\tau + \int \limits_\eta \int \limits_\eta h_2(\tau_1, \tau_2) x(t - \tau_1) x(t-\tau_2) \, d\tau_1 d\tau_2 + ... </math>,
где — <math>\eta</math> область интегрирования, то есть область, на которой определена функция x(t). Фреше доказал, что любой непрерывный функционал <math>y[x(t)]</math>, определенный на множестве функций <math>x(t)</math>, областью определения которых является интервал <math>[a, b]</math>, может быть представлен интегралами Вольтерры. Бриллиант доказал эту теорему для бесконечного интервала.
Суть винеровского описания состоит в том, что вместо явного выражения для абстрактной системы отыскивается метод её аппроксимации, который начинается с простых элементов, а затем при постепенном усложнении он даёт возможность аппроксимировать систему с желаемой точностью. Для описания системы по существу необходимо знание ряда ядер вида <math>h_n(\tau_1, ... \tau_n)</math> для <math>n=1, 2, ...</math>.
Решение задачи
Н. Винер использует в качестве входного сигнала изучаемой нелинейной системы винеровский процесс. В этом случае функциональный ряд можно представить в виде суммы ортогональных функционалов различных степеней. Построение этого ряда производится следующим образом: функционал нулевой степени есть константа, абсолютная величина квадрата этой константы равна 1, таким образом нормированная константа равна 1 или −1. Рассмотрим теперь функционал 1-й степени вида:
- <math>\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_1(\tau) x(t - \tau) \, d\tau + h_0</math>.
Он должен быть ортогонален всем функционалам 0-й степени. Умножение функционала 1-й степени на функционал 0-й степени осуществляется по формуле:
- <math>\int \limits_{-\infty}^{\infty} \Bigl[ \int \limits_{-\infty}^{\infty} h_1(\tau) x(t - \tau) \, d\tau + h_0 \Bigr]K d\tau =0 </math>.
Здесь первый член равен нулю. Все выражение равно нулю, только если <math>h_0=0</math>
Литература
