Русская Википедия:Вложение
Шаблон:Nosources Вложение (или включение) — специального вида отображение одного экземпляра некоторой математической структуры во второй экземпляр такого же типа. А именно, вложение некоторого объекта <math>X</math> в <math>Y</math> задаётся инъективным отображением, сохраняющим некоторую структуру. Что означает «сохранение структуры», зависит от типа математической структуры, объектами которой являются <math>X</math> и <math>Y</math>. В терминах теории категорий отображение, «сохраняющее структуру», называют морфизмом.
То, что отображение <math>f: X\to Y</math> является вложением, часто обозначают «крючковатой стрелкой» таким образом: <math>f: X\hookrightarrow Y</math>.
Для заданных <math>X</math> и <math>Y</math> может быть несколько возможных вложений. Во многих случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение — например, вложения натуральных чисел в целые, целых в рациональные, рациональных в вещественные, а вещественных в комплексные. В таких случаях обычно задают область определения <math>X</math> с образом <math>f(X)\subset Y</math>, такую что <math>X\subseteq Y</math>.
Геометрия и топология
Общая топология
Отображение топологических пространств <math>f: X\to Y</math> называется вложением <math>X</math> в <math>Y</math>, если <math>f: X\to f(X)\subset Y</math> — гомеоморфизм[1] (на <math>f(X)</math> рассматривается топология, индуцированная с <math>Y</math>). Каждое вложение непрерывно и инъективно.
Для пространства <math>X</math> существование вложения <math>X\to Y</math> — топологический инвариант. Мы можем различить два пространства, если одно из них можно вложить в <math>Y</math>, а другое нельзя.
Дифференциальная топология
Пусть <math>M, N</math> — гладкие многообразия и <math>f: M\to N</math> — гладкое отображение. Оно называется погружением, если дифференциал <math>df</math> отображения <math>f</math> всюду инъективен. Гладкое вложение — это инъективное погружение, являющееся также вложением в вышеприведённом смысле (то есть гомеоморфизмом на свой образ).[2]
Другими словами, прообраз вложения диффеоморфен своему образу, и, в частности, образ вложения должен быть подмногообразием. Погружение в свою очередь является локальным вложением (то есть для каждой точки <math>x\in M</math> существует окрестность <math>U\subset M, x\in U</math>, такая что <math>f: U\to N</math> — вложение).
Важный частный случай — когда N=Rn. Интерес здесь представляет вопрос, насколько малым может быть n. Теорема Уитни о вложении[3] утверждает, что достаточно n=2m, где m — размерность многообразия.
Алгебра
Теория колец
В теории колец вложением называется инъективный гомоморфизм колец <math>f \colon A \to B</math>. Так как <math>f(A)</math> является подкольцом кольца <math>B</math>, то вложение <math>f</math> устанавливает изоморфизм между кольцами <math>A</math> и <math>f(A)</math>.
Теория категорий
В теории категорий не существует удовлетворительного определения вложения, которое подходило бы для всех категорий. Типичные требования на определение вложения в произвольной категории таковы: все изоморфизмы являются вложениями, композиция вложений — вложение, все вложения — мономорфизмы, любой экстремальный мономорфизм — вложение.
В конкретной категории вложение — это морфизм ƒ: A → B, который действует инъективно на множествах-носителях и также является начальным морфизмом в следующем смысле: если g — функция из множества-носителя объекта C во множество-носитель A, и её композиция с ƒ является морфизмом ƒg: C → B, то g также является морфизмом.
Как обычно в теории категорий, существует двойственное понятие, известное как фактор.
См. также
Примечания
- ↑ Шаблон:Citation, page 16.
- ↑ Шаблон:Citation, page 22.
- ↑ Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 (1936), 645—680.
