Русская Википедия:Вторая производная

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

 

Файл:4 fonctions du second degré.svg
Вторая производная квадратичной функции постоянна.

Вторая производная или производная второго порядка функции <math>f</math> является производной от производной от <math>f</math>. Грубо говоря, вторая производная измеряет, как изменяется скорость изменения самой величины; например, вторая производная положения объекта по времени — это мгновенное ускорение объекта или скорость изменения скорости объекта по времени. В нотации Лейбница:

<math>\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2},</math>

где <math>a</math> — ускорение, <math>v</math> — скорость, <math>t</math> — время, <math>x</math> — положение объекта, d — мгновенная «дельта» или изменение. Последнее выражение <math>\tfrac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}</math> является второй производной положения <math>(x)</math> по времени.

На графике функции вторая производная соответствует кривизне или выпуклости графика. График функции с положительной второй производной на некотором участке является выпуклым вниз на этом участке, в то время как график функции с отрицательной второй производной на некотором участке изгибается в противоположную сторону на этом участке.

Обозначение

Вторая производная функции <math>f(x)</math> обычно обозначается <math>f(x)</math>[1][2]. То есть:

<math>f = \left(f'\right)'</math>.

При использовании нотации Лейбница, частная вторая производная зависимой переменной <math>y</math> по независимой переменной <math>x</math> записывается как:

<math>\frac{d^2y}{dx^2}.</math>

Данное обозначение получено из следующей формулы:

<math>\frac{d^2y}{dx^2} \,=\, \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>

Вторая производная степенной функции

Взяв два раза производную, получается формула второй производной:

<math>\frac{d^2}{dx^2}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx}\frac{d}{dx}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx}\left[nx^{n-1}\right] = n\frac{d}{dx}\left[x^{n-1}\right] = n(n - 1)x^{n-2}.</math>

Пример

Дана функция

<math>f(x) = x^3,</math>

производная от <math>f</math> — функция

<math>f^{\prime}(x) = 3x^2.</math>

Вторая производная от <math>f</math> является производной от <math>f^{\prime}</math>, а именно

<math>f^{\prime\prime}(x) =

\left(f'\left(x\right)\right)' = 6x.</math>

Вторая производная на графике

Файл:Animated illustration of inflection point.gif
График <math>f(x) = \sin(2x)</math> в промежутке от <math>-\pi/4</math> до <math>5\pi/4</math>. Касательная синяя там, где кривая выпукла вниз, зеленая там, где кривая выпукла вверх, и красная в точках перегиба (0, <math>\pi</math> /2 и <math>\pi</math>).

Выпуклость

Вторая производная функции <math>f</math> может использоваться для определения выпуклости/вогнутости графика <math>f</math>[2]. Функция, вторая производная которой положительна, будет выпуклой вниз (также называется вогнутой вверх), что означает, что касательная будет лежать ниже графика функции. Точно так же функция, у которой вторая производная отрицательна, будет выпукла вверх (также называется просто вогнутой вниз), а её касательные линии будут лежать над графиком функции.

Точки перегиба

Шаблон:Основная статья Если вторая производная функции меняет знак, то график функции меняется с выпуклого вверх на выпуклый вниз или наоборот. Точка, в которой график уже не выпуклый вверх, но еще не выпуклый вниз, называется точкой перегиба. Если вторая производная непрерывна, она принимает нулевое значение в любой точке перегиба, однако стоит учитывать, что не каждая точка, в которой вторая производная равна нулю, обязательно является точкой перегиба.

Исследование стационарных точек

Связь второй производной и графика можно использовать для проверки того, является ли стационарная точка функции (то есть точка, где <math>f'(x)=0</math>) локальным максимумом или локальным минимумом. Более подробно:

  • Если <math>f^{\prime\prime}(x) < 0</math>, тогда <math>f</math> имеет локальный максимум в точке <math>x</math>.
  • Если <math>f^{\prime\prime}(x) > 0</math>, тогда <math>f</math> имеет локальный минимум в точке <math>x</math>.
  • Если <math>f^{\prime\prime}(x) = 0</math>, проверка второй производной ничего не говорит о том, является ли точка <math>x</math> точкой перегиба.

Причину, по которой вторая производная дает такие результаты, можно понять с помощью аналогии с реальным миром. Рассмотрим транспортное средство, которое вначале движется вперед с большой скоростью, но с отрицательным ускорением. Ясно, что положение автомобиля в точке, где скорость достигает нуля, будет наибольшим расстоянием от начального положения — следующим шагом скорость станет отрицательной, и автомобиль начнет ехать в противоположную сторону. То же самое верно и для минимума, когда транспортное средство сначала имеет отрицательную скорость, но положительное ускорение.

Предел

Можно записать вторую производную при помощи всего одного предела:

<math>f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.</math>

Данный предел можно называть второй симметричной производной[3][4]. Стоит обратить внимание, что вторая симметричная производная может существовать, даже если (обычная) вторая производная не существует.

Правую часть выражения можно записать в виде разностного отношения разностных отношений:

<math>\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.</math>

Этот предел можно рассматривать как непрерывную версию Шаблон:Iw для последовательностей.

Однако существование указанного выше предела не означает, что функция <math>f</math> имеет вторую производную. Приведенный выше предел просто дает возможность вычислить вторую производную, но не дает представления о ее существовании. Контрпримером является функция <math>\sgn(x)</math>, которая определяется как:

<math>\sgn(x) = \begin{cases}

-1, \ \ x < 0 \\ 0, \ \ \ \ \ x = 0 \\ 1, \ \ \ \ \ x > 0 \end{cases}</math>

Функция <math>\sgn(x)</math> разрывна в нуле, поэтому вторая производная для <math>x=0</math> не существует. Но вышеуказанный предел существует для <math>x=0</math>:

<math>\begin{align}

\lim_{h \to 0} \frac{\sgn(0+h) - 2\sgn(0) + \sgn(0-h)}{h^2} &= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) - 2\cdot 0 + \sgn(-h)}{h^2} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) + (-\sgn(h))}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0. \end{align}</math>

Квадратичная аппроксимация

Так же, как первая производная связана с линейной аппроксимацией, вторая производная связана с квадратичной аппроксимацией для функции <math>f</math>. Эта квадратичная функция, первые и вторые производные которой такие же, как у <math>f</math> в данной точке. Формула квадратичного приближения функции <math>f</math> вокруг точки <math>x = a</math> имеет вид

<math>f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12 f(a)(x-a)^2.</math>

Эта квадратичная аппроксимация представляет собой ряд Тейлора второго порядка для функции с центром в точке Шаблон:Math.

Собственные значения и собственные векторы второй производной

Для многих краевых задач можно получить явные формулы для собственных значений и собственных векторов оператора второй производной. Например, если предположить, что <math>x \in [0,L]</math> и заданы однородные граничные условия Дирихле (то есть <math> v(0)=v(L)=0</math>), то собственные значения <math> \lambda_j = -\tfrac{j^2 \pi^2}{L^2}</math> и соответствующие собственные векторы (также называемые собственными функциями) равны <math> v_j(x) = \sqrt{\tfrac{2}{L}} \sin\left(\tfrac{j \pi x}{L}\right) </math>. Здесь <math> v_j(x) = \lambda_j v_j(x), \, j=1,\ldots,\infty.</math>

Для других известных случаев см. Шаблон:Iw.

Обобщение на более высокие измерения

Гессиан

Шаблон:Основная статья Вторая производная обобщается на более высокие измерения с помощью понятия вторых частных производных. Для функции <math>f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R</math> есть три частные производные второго порядка:

<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \text{ и }\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>,

и смешанные частные производные:

<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}, \text{ и }\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}.</math>

Если все эти производные непрерывны, то можно составить из них симметричную матрицу, известную как матрица Гессе. Собственные значения этой матрицы можно использовать для реализации многомерного аналога проверки второй производной.Шаблон:Основная статья Другим распространенным обобщением второй производной является лапласиан. Это дифференциальный оператор <math>\nabla^2</math> (или же <math>\Delta</math>), определяется как:

<math>\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.</math>

Лапласиан функции равен дивергенции градиента и следу матрицы Гессе.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Печатные ресурсы

Книги, доступные в интернете

Ссылки

Шаблон:Дифференциальное исчисление

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Cite web
  2. ↑ 2,0 2,1 Шаблон:Cite web
  3. ↑ Шаблон:Cite book
  4. ↑ Шаблон:Cite book
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Вторая_производная&oldid=9467225