Русская Википедия:Выпучивание

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Выпучивание — потеря устойчивости конструкции при приложении внешней нагрузки, сопровождаемая изменением формы.

Задача Эйлера

Пусть для тонкой балки с постоянным поперечным сечением (S), опора которой имеет шарнирное неподвижное закрепление, а на второй конец закреплённый на подвижном шарнире, действует сила (P) направленная вдоль оси. Тогда при малой силе, напряжение в балке определяется выражением <math>\sigma=P/S\,.</math> При увеличении силы после достижения критического значения происходит выпучивание, и балка приобретает кривизнуШаблон:Sfn

<math>\kappa = \pm\frac{M}{EI}\,,</math>

где M — изгибающий момент, I — минимальный момент инерции сечения балки, E — модуль Юнга. Для пологой кривой кривизна запишется через прогиб <math>v</math> в видеШаблон:Sfn

<math>\kappa = \mp\frac{d^2 v}{d x^2}\,,</math>

где изгибающий момент равен <math>M=\pm Pv\,.</math> Тогда

<math>EI\frac{d^2 v}{d x^2}=-Pv\,.</math>

Это дифференциальное уравнение второго порядка решается для граничных условий закрёплённых концов или v(0)=v(l)=0, где l — длина балки. Что приводит к синусоидальной форме балки и значению для критической силыШаблон:Sfn

<math>P_c = \frac{\pi^2 EI}{l^2}\,,</math>

которая называется формулой Эйлера.

Литература

• Шаблон:Книга