Русская Википедия:Вычисление координат пересечений кругов равных высот светил

P — полюс мира, Z — зенит наблюдателя, Horizon — горизонт наблюдателя. σ₁ и σ₂ — светила, h₁, h₂ — их наблюдённые высоты, t_m1 и t_m2 — их местные часовые углы. Greenwich — гринвичский меридиан, t_G1 — гринвичский часовой угол первого светила. LoP₁ и LoP₂ — круги равных высот светил (или высотные линии положения, ВЛП). Точки Fix₁ и Fix₂ пересечений ВЛП — возможные местоположения наблюдателя согласно обсервации. Точка (φ_c;λ_c) — место согласно счислению.

Вычисление координат точек пересечения кругов равных высот светил — предложенный Гауссом аналитический метод определения географических координат местоположения наблюдателя по измеренным высотам двух светил и их склонениям и часовым углам, без графических построений на карте. Используется в астрономической навигации наряду с методом Сомнера и методом переносов (метод Сент-Илера). В случае невозможности определить время наблюдения метод позволяет, тем не менее, вычислить географическую широту местоположения наблюдателя.

В общем случае данный метод не требует знания счислимого места, <math>(\varphi_c;\lambda_{c})</math>, так как обсервация третьего светила позволяет устранить неоднозначность определения места по первым двум. Если пронаблюдать третье светило невозможно, для решения неоднозначности рекомендуется измерить азимуты наблюдаемых светил, чтобы сравнить их с вычисленными для обеих точек пересечения. Приемлема точность взятия азимутов ±10°.

Исходные данные

Для некоторого момента времени <math>UT_o</math> наблюдением получены высоты двух светил над горизонтом, <math>h_{o1}</math> и <math>h_{o2}</math> соответственно^[1]. Также, из альманаха, выяснены относящиеся к этому моменту их склонения, <math>\delta_1</math> и <math>\delta_2</math>; и гринвичские часовые углы, <math>t_{G1}</math> и <math>t_{G2}</math>. Северное склонение и восточная долгота считаются положительными величинами, южное склонение и западная долгота — отрицательными, в вычислениях соблюдать соглашение о знаках величин обязательно.

Если выбранными светилами являются звёзды, у которых величины склонений и прямых восхождений можно принять неизменными в течение суток, вместо гринвичских часовых углов допустимо использовать выраженные в угловой мере значения их прямых восхождений, <math>\alpha</math>, или звёздные дополнения, <math>\tau^\star</math>. В этом случае географическая широта местоположения наблюдателя вычисляется без знания точного момента времени наблюдения светил.

Ход вычислений

Рассмотрим параллактические треугольники <math>PZ\sigma_1</math> и <math>PZ\sigma_2</math>, где <math>P_N</math> — северный полюс мира, <math>\sigma_1</math> и <math>\sigma_2</math> — наблюдаемые светила, <math>Z</math> — зенит наблюдателя. <math>z_1 = 90^\circ - h_{o1}</math> и <math>z_2 = 90^\circ - h_{o2}</math> — зенитные расстояния светил.

На первом этапе вычислений (определение широты) требуется величина часового угла между светилами, <math>\Delta t</math>, которая в случае наблюдения планет, Солнца или Луны должна быть получена из их гринвичских часовых углов:

<math>\Delta t = t_{G2} - t_{G1}</math>

При наблюдении звёзд эта величина может быть получена из значений их прямых восхождений:

<math>\Delta t = 15^{\left[\frac{\circ}{h}\right]} \cdot (\alpha_{2}^{[h]} - \alpha_{1}^{[h]})</math>

Из звёздных дополнений:

<math>\Delta t = \underbrace{(t_{G}^\curlyvee + \tau_{2}^\star)}_{t_{G2}} - \underbrace{(t_{G}^\curlyvee + \tau_{1}^\star)}_{t_{G1}} = \tau_{2}^\star - \tau_{1}^\star</math>

Действительные величины гринвичских часовых углов понадобятся на шаге вычисления долготы.

По теореме косинусов

Угловое расстояние между светилами, <math>D_{12}</math>:

<math>\cos(D_{12}) = \sin(\delta_1) \cdot \sin(\delta_2) + \cos(\delta_1) \cdot \cos(\delta_2) \cdot \cos(\Delta t)</math>

Постоянная часть параллактического угла, <math>q_1</math>, при первом светиле:

<math>\cos(q_1) = \frac{\sin(\delta_2) - \sin(\delta_1) \cdot \cos(D_{12})}{\cos(\delta_1) \cdot \sin(D_{12})} = \frac{\sin(\delta_2)}{\cos(\delta_1) \cdot \sin(D_{12})} - \frac{\tan(\delta_1)}{\tan(D_{12})}</math>

Переменная часть параллактического угла, <math>\Delta q_1</math>, от первого светила к наблюдателю:

<math>\cos(\Delta q_1) = \frac{\sin(h_{o2}) - \sin(h_{o1}) \cdot \cos(D_{12})}{\cos(h_{o1}) \cdot \sin(D_{12})} = \frac{\sin(h_{o2})}{\cos(h_{o1}) \cdot \sin(D_{12})} - \frac{\tan(h_{o1})}{\tan(D_{12})}</math>

Наблюдатель может находиться в одной из двух точек, <math>Fix_1</math> или <math>Fix_2</math>, расположенных симметрично относительно дуги <math>D_{12}</math>, действительное значение паралактического угла может быть суммой или разностью углов <math>q_1</math> и <math>\Delta q_1</math>.

Широта первого пересечения, <math>\varphi_{(q_1 + \Delta q_1)}</math>:

<math>\sin(\varphi_{(q_1 + \Delta q_1)}) = \sin(\delta_1) \cdot \sin(h_{o1}) + \cos(\delta_1) \cdot \cos(h_{o1}) \cdot \cos(q_1 + \Delta q_1)</math>

Широта второго пересечения, <math>\varphi_{(q_1 - \Delta q_1)}</math>:

<math>\sin(\varphi_{(q_1 - \Delta q_1)}) = \sin(\delta_1) \cdot \sin(h_{o1}) + \cos(\delta_1) \cdot \cos(h_{o1}) \cdot \cos(q_1 - \Delta q_1)</math>

На основании приблизительной оценки текущего местоположения наблюдателя производится выбор значения широты, <math>\varphi_o</math>, ближайшего к ожидаемому. Дальнейшие вычисления производятся с ним.

Знак угла <math>\Delta q_1</math> можно определить и без попытки вычисления обоих значений широты. Достаточно свериться с видом треугольника <math>P\sigma_{1}\sigma_{2}</math>: если счислимое место и повышенный полюс мира находятся по одну сторону дуги <math>D_{12}</math>, величину <math>\Delta q_1</math> следует брать со знаком минус, если счислимое место и полюс мира находятся по разные стороны, — величину <math>\Delta q_1</math> следует брать со знаком плюс.

Основное значение местного часового угла, <math>t_1</math>, первого светила для широты <math>\varphi_o</math>:

<math>\cos(t_1) = \frac{\sin(h_{o1}) - \sin(\delta_1) \cdot \sin(\varphi_o)}{\cos(\delta_1) \cdot \cos(\varphi_o)} = \frac{\sin(h_{o1})}{\cos(\delta_1) \cdot \cos(\varphi_o)} - \tan(\delta_1) \cdot \tan(\varphi_o)</math>

Так как функция <math>\arccos(x)</math> всегда возвращает значения углов в диапазоне <math>0^\circ ... 180^\circ</math>, действительная величина местного часового угла, <math>t_{m1_{i}}</math>, определяется положением светила относительно меридиана наблюдателя: если оно западнее, то <math>t_{m1_{I}} = t_{1}</math>, если восточнее, то <math>t_{m1_{II}} = 360^\circ - t_{1}</math>.

В случае близости светила к меридиану наблюдателя — уверенно определить восточный у него азимут или западный бывает сложно, особенно для светил, расположенных около зенита. Для выбора действительного значения часового угла следует вычислить высоту второго светила, ожидаемую при обоих возможных значениях <math>t_{m1_{i}}</math>, и сравнить с наблюдённой величиной <math>h_{o2}</math>.

<math>t_{m2_{I}} = \underbrace{(t_{m1_{I}} - t_{G1})}_{\lambda_{o_{I}}} + t_{G2}</math> — местный часовой угол второго светила при основном значении функции <math>\arccos(\cos(t_1))</math>

<math>t_{m2_{II}} = \underbrace{(t_{m1_{II}} - t_{G1})}_{\lambda_{o_{II}}} + t_{G2}</math> — местный часовой угол второго светила при втором возможном значении входной величины

<math>\sin(h_{c2_{I}}) = \sin(\varphi_o) \cdot \sin(\delta_2) + \cos(\varphi_o) \cdot \cos(\delta_2) \cdot \cos(t_{m2_{I}})</math> — вычисленная высота второго светила для места <math>(\varphi_o;\lambda_{o_{I}})</math>

<math>\sin(h_{c2_{II}}) = \sin(\varphi_o) \cdot \sin(\delta_2) + \cos(\varphi_o) \cdot \cos(\delta_2) \cdot \cos(t_{m2_{II}})</math> — вычисленная высота второго светила для места <math>(\varphi_o;\lambda_{o_{II}})</math>

Вычисление долготы производится с тем значением часового угла, <math>t_{m1_{i}}</math>, первого светила, при котором вычисленная, <math>h_{c2_{i}}</math>, и наблюдённая, <math>h_{o2}</math>, высота второго светила согласуются.

Долгота выбранного пересечения кругов равных высот, <math>\lambda_o</math>:

<math>\lambda_o = t_{m1_{i}} - t_{G1}</math>

Географические координаты <math>\varphi_o</math> и <math>\lambda_o</math> местоположения наблюдателя на момент времени <math>UT_o</math> определены.

Решение неоднозначности

Если для обсервации были доступны только два светила, например, Солнце и Луна, и устранить неоднозначность выбора координат обсервацией третьего светила невозможно, а счислимое место неизвестно даже приблизительно, надлежит вычислить азимуты одного из светил для обоих пересечений и сравнить их с наблюдёнными значениями.

Азимут светила, <math>A</math>:

<math>\cos(A) = \frac{\sin(\delta) - \sin(h) \cdot \sin(\varphi_{i})}{\cos(h) \cdot \cos(\varphi_{i})} = \frac{\sin(\delta)}{\cos(h) \cdot \cos(\varphi_{i})} - \tan(h) \cdot \tan(\varphi_{i})</math>

Для выбора правильного значения широты (и, в дальнейшем, — долготы), достаточно иметь оценку азимута наблюдённого светила с допуском ±10°.

С помощью гаверсинусов

Координаты точек пересечений, по тем же исходным данным, можно вычислить^[2] с помощью единственной тригонометрической функции — гаверсинус угла, <math>\operatorname{hav}(\theta)</math>. Для получения точности координат в одну угловую минуту пригодна 4-значная таблица натуральных значений гаверсинусов^[3], что позволяет произвести расчёты без применения электронных калькуляторов или таблиц логарифмов значений нескольких тригонометрических функций.

Вспомогательные величины <math>F</math> и <math>G</math>:

<math>F = \operatorname{hav}(\delta_2 - \delta_1)</math>

<math>G = \operatorname{hav}(\delta_2 + \delta_1)</math>

Угловое расстояние между светилами, <math>D_{12}</math>:

<math>\operatorname{hav}(D_{12}) = F + ( 1 - F - G ) \cdot \operatorname{hav}(\Delta t)</math>

Угол, дополнительный к <math>D_{12}</math>:

Зенитное расстояние, <math>z_1</math>, первого светила; зенитное расстояние, <math>z_2</math>, и полярное расстояние, <math>p_2</math>, второго светила:

<math>p_2 = 90^\circ - \delta_2</math>

Полярное расстояние всегда отсчитывается от северного полюса мира.

Вспомогательные величины <math>J</math>, <math>K</math>, <math>L</math>, <math>P</math>, <math>R</math> и <math>S</math>:

<math>J = \operatorname{hav}(h_{o1} - D^*)</math>

<math>K = \operatorname{hav}(h_{o1} + D^*)</math>

<math>L = \operatorname{hav}(\delta_1 - D^*)</math>

<math>P = \operatorname{hav}(\delta_1 + D^*)</math>

<math>R = \operatorname{hav}(\delta_1 - h_{o1})</math>

<math>S = \operatorname{hav}(\delta_1 + h_{o1})</math>

Вспомогательный угол <math>\alpha</math>:

<math>\operatorname{hav}(\alpha) = \frac{\operatorname{hav}(z_2) - J}{1 - K - J}</math>

Вспомогательный угол <math>(\alpha + \beta)</math>:

<math>\operatorname{hav}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{hav}(p_2) - L}{1 - P - L}</math>

Вспомогательный угол <math>\beta_I</math>, относящийся к первой точке пересечения кругов равной высоты:

<math>\beta_I = (\alpha + \beta) - \alpha</math>

Угол, дополнительный к широте, <math>\phi^{*}_{I}</math>, и широта первой точки пересечения, <math>\varphi_I</math>:

<math>\operatorname{hav}(\phi^{*}_{I}) = R + ( 1 - R - S ) \cdot \operatorname{hav}(\beta_I)</math>

<math>\varphi_I = 90^\circ - \phi^{*}_{I}</math>

Если полученное значение широты не согласуется с приближённой оценкой текущего местоположения наблюдателя, вычисляется широта второй точки пересечения кругов равной высоты:

<math>\beta_{II} = (360^\circ - (\alpha + \beta)) - \alpha</math>

<math>\operatorname{hav}(\phi^{*}_{II}) = R + ( 1 - R - S ) \cdot \operatorname{hav}(\beta_{II})</math>

<math>\varphi_{II} = 90^\circ - \phi^{*}_{II}</math>

Дальнейшие вычисления производятся с выбранным значением <math>\varphi_o</math>.

Вспомогательные величины <math>U</math> и <math>V</math>:

<math>U = \operatorname{hav}(\delta_1 - \varphi_o)</math>

<math>V = \operatorname{hav}(\delta_1 + \varphi_o)</math>

Основное значение местного часового угла, <math>t_1</math>, первого светила, для широты <math>\varphi_o</math>:

<math>\operatorname{hav}(t_1) = \frac{\operatorname{hav}(z_1) - U}{1 - V - U}</math>

Так как функция <math>\operatorname{archav}(x)</math> всегда возвращает значения углов в диапазоне <math>0^\circ ... 180^\circ</math>, действительная величина местного часового угла, <math>t_{m1_{i}}</math>, определяется положением светила относительно меридиана наблюдателя: если оно западнее, то <math>t_{m1_{I}} = t_{1}</math>, если восточнее, то <math>t_{m1_{II}} = 360^\circ - t_{1}</math>.

В случае близости светила к меридиану наблюдателя — уверенно определить восточный у него азимут или западный бывает сложно, особенно для светил, расположенных около зенита. Для выбора значения часового угла следует вычислить высоту второго светила, ожидаемую при обоих возможных значениях, и сравнить с наблюдённой величиной <math>h_{o2}</math>.

<math>t_{m2_{I}} = \underbrace{(t_{m1_{I}} - t_{G1})}_{\lambda_{o_{I}}} + t_{G2}</math> — местный часовой угол второго светила при основном значении функции <math>\operatorname{archav}(\operatorname{hav}(t_1))</math>

<math>t_{m2_{II}} = \underbrace{(t_{m1_{II}} - t_{G1})}_{\lambda_{o_{II}}} + t_{G2}</math> — местный часовой угол второго светила при втором возможном значении входной величины

<math>M = \operatorname{hav}(\delta_2 - \varphi_o)</math>

<math>N = \operatorname{hav}(\delta_2 + \varphi_o)</math>

<math>\operatorname{hav}(z_{c2_{I}}) = M + ( 1 - M - N) \cdot \operatorname{hav}(t_{m2_{I}})</math>

<math>\operatorname{hav}(z_{c2_{II}}) = M + ( 1 - M - N) \cdot \operatorname{hav}(t_{m2_{II}})</math>

Дуга <math>z_{c2_{i}}</math> — зенитное расстояние второго светила, вычисленное для места <math>(\varphi_o;\lambda_{o_{i}})</math>.

<math>h_{c2_{i}} = 90^\circ - z_{c2_{i}}</math> — вычисленная высота второго светила.

Вычисление долготы производится с тем значением часового угла, <math>t_{m1_{i}}</math>, первого светила, при котором вычисленная, <math>h_{c2_{i}}</math>, и наблюдённая, <math>h_{o2}</math>, высота второго светила согласуются.

Долгота точки пересечения, <math>\lambda_o</math>:

<math>\lambda_o = t_{m1_{i}} - t_{G1}</math>

Географические координаты <math>\varphi_o</math> и <math>\lambda_o</math> местоположения наблюдателя на момент времени <math>UT_o</math> определены.

Решение неоднозначности

Если для обсервации были доступны только два светила, например, Солнце и Луна, и устранить неоднозначность выбора координат обсервацией третьего светила невозможно, а счислимое место неизвестно даже приблизительно, надлежит вычислить азимуты одного из светил для обоих пересечений и сравнить их с наблюдёнными значениями.

Угловое расстояние светила от повышенного полюса, <math>ePD</math>:

<math>ePD=\begin{cases}

90^\circ - \vert \delta \vert & \quad \delta \text{ и } \varphi_{i} \text{ одноимённые (оба северного или оба южного полушария)}\\ 90^\circ + \vert \delta \vert & \quad \delta \text{ и } \varphi_{i} \text{ разноимённые} \end{cases}</math>

Азимут светила, <math>A</math>:

<math>\operatorname{hav}(A) = \frac{\operatorname{hav}(ePD) - \operatorname{hav}(\vert \varphi_{i} \vert - h)}{1 - \operatorname{hav}(\vert \varphi_{i} \vert - h) - \operatorname{hav}(\vert \varphi_{i} \vert + h)}</math>

Для выбора правильного значения широты (и, в дальнейшем, — долготы), достаточно иметь оценку азимута наблюдённого светила с допуском ±10°.

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Литература

Капитан 3 ранга А. Лусис, Определение места по звёздам усовершенствованным методом высотных изолиний, «Морской сборник» 1988 № 12, стр.65

↑ Если высоты светил измерены не одновременно, необходимо исправить высоту одного из них приведением к одному моменту, если наблюдатель находился в движении, дополнительно требуется приведение высоты к одному зениту.
↑ Шаблон:Cite web
↑ 4-значная таблица натуральных значений гаверсинусов, PDF, 51кБ

[1] Если высоты светил измерены не одновременно, необходимо исправить высоту одного из них приведением к одному моменту, если наблюдатель находился в движении, дополнительно требуется приведение высоты к одному зениту.

[2] Шаблон:Cite web

[3] 4-значная таблица натуральных значений гаверсинусов, PDF, 51кБ

[1]

[2]

[3]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Вычисление координат пересечений кругов равных высот светил

Содержание

Исходные данные

Ход вычислений

По теореме косинусов

Решение неоднозначности

С помощью гаверсинусов

Решение неоднозначности

Примечания

Ссылки

Литература

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты