Русская Википедия:Гармонический ряд
Гармони́ческий ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:
- <math> \sum_{k=1}^\mathcal{\infty} \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{k} + \cdots </math>.
Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: <math>k </math>-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной <math>\frac{1}{k}</math> от длины исходной струны[1]. Кроме того, каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних членов.
Суммы первых n членов ряда (частичные суммы)
Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. Частичная сумма Шаблон:Math первых членов гармонического ряда называется Шаблон:Math-м гармоническим числом:
- <math> H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n} </math>
Разница между <math>n</math>-м гармоническим числом и натуральным логарифмом <math>n</math> сходится к постоянной Эйлера — Маскерони <math>\gamma = 0{,}5772...</math>.
Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме <math>H_1=1</math>, не является целым: <math>\forall n>1\;\;\;\;\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\notin\mathbb{N}</math>[2].
Некоторые значения частичных сумм
| <math>\begin{matrix}H_1 &=& 1 \\\\ H_2 &=& \frac{3}{2} &=& 1{,}5 \\\\ H_3 &=& \frac{11}{6} &\approx& 1{,}833 \\\\ H_4 &=& \frac{25}{12} &\approx& 2{,}083 \\\\ H_5 &=& \frac{137}{60} &\approx& 2{,}283\end{matrix}</math> | <math>\begin{matrix}H_6 &=& \frac{49}{20} &=& 2{,}45 \\ \\H_7 &=& \frac{363}{140} &\approx& 2{,}593 \\\\ H_8 &=& \frac{761}{280} &\approx& 2{,}718 \\\\ H_{10^3} &\approx& 7{,}485 \\\\ H_{10^6} &\approx& 14{,}393\end{matrix}</math> |
Формула Эйлера
В 1740 году Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых <math>n</math> членов ряда:
- <math> H_n = \ln n + \gamma + \varepsilon _n</math>,
где <math>\gamma = 0{,}5772...</math> — постоянная Эйлера — Маскерони, а <math>\ln</math> — натуральный логарифм.
При <math>n\rightarrow \infty</math> значение <math>\varepsilon _n \rightarrow 0,</math> следовательно, для больших <math>n</math>
- <math> H_n\approx \ln n + \gamma </math> — формула Эйлера для суммы первых <math>n</math> членов гармонического ряда.
| <math> n</math> | <math> H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math> | <math> \ln n + \gamma</math> | <math>\varepsilon _n</math>, (%) |
| 10 | 2,93 | 2,88 | 1,7 |
| 25 | 3,82 | 3,80 | 0,5 |
Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:
- <math> H_n \asymp \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \frac{1}{120n^4} - \frac{1}{252n^6} \dots = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k\,n^{2k}},</math> где <math>B_{2k}</math> — числа Бернулли.
Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного членаШаблон:Нет АИ.
Расходимость ряда
Гармонический ряд расходится: <math> s_n\rightarrow \infty</math> при <math>n\rightarrow \infty,</math> однако очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1.5*1043 элементов ряда).
Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его со следующим телескопическим рядом, который получается из логарифмирования <math>\left (1 + \frac{1}{n} \right )^n< e</math>:
- <math>v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac {1}{n}.</math>
Частичная сумма этого ряда, очевидно, равна <math>\sum_{i=1}^{n} v_i= \ln(n+1).</math> Последовательность таких частичных сумм расходится; следовательно, по определению телескопический ряд расходится, но тогда из признака сравнения рядов следует, что гармонический ряд тоже расходится.
Доказательство через предел последовательности частичных сумм[3]
Рассмотрим последовательность <math> H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n}.</math> Покажем, что эта последовательность не является фундаментальной, то есть, что <math>\exists \varepsilon>0: \forall k\in \mathbb{N}\ \exists n>k,\exists p \in \mathbb{N}: \left \vert H_{n+p}-H_n \right \vert\geq \varepsilon.</math> Оценим разность <math>\left \vert H_{n+p}-H_n \right \vert=\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{n+p}\geq\frac{1}{n+p}+\cdots+\frac{1}{n+p}=\frac{p}{n+p}.</math> Пусть <math>p\doteq n.</math> Тогда <math>\forall n \in \mathbb{N}: \left \vert H_{2n}-H_n \right \vert\geq \frac{1}{2}.</math> Следовательно, данная последовательность не является фундаментальной и по критерию Коши расходится. Тогда по определению ряд также расходится.
Доказательство Орема
Доказательство расходимости можно построить, если сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, в котором знаменатели дополнены до степени двойки. Этот ряд группируется, и получается третий ряд, который расходится:
- <math>
\begin{align} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} > 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad + \ \cdots. \end{align} </math> (Группировка сходящихся рядов всегда дает сходящийся ряд, а значит если после группировки получился ряд расходящийся, то и исходный тоже расходится.)
Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).
Связанные ряды
Обобщённый гармонический ряд
Обобщённым гармоническим рядом (частный случай ряда Дирихле) называют ряд[4]
- <math> \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}=1 + \frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha} + \frac{1}{4^\alpha} + \cdots +\frac{1}{k^\alpha} + \cdots </math>.
Этот ряд расходится при <math>\alpha \leqslant 1</math> и сходится при <math>\alpha > 1</math>[4].
Сумма обобщённого гармонического ряда порядка <math>\alpha</math> равна значению дзета-функции Римана:
- <math> \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}=\zeta(\alpha) </math>
Для чётных это значение явно выражается через число пи — например, сумма ряда обратных квадратов <math>\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}</math>. Но уже для Шаблон:Math=3 его значение (константа Апери) аналитически неизвестно.
Другой иллюстрацией расходимости гармонического ряда может служить соотношение <math>\zeta(1+\frac{1}{n}) \sim n.</math>
Знакопеременный ряд
В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд
- <math>
\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots </math> сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:
- <math>1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.</math>
Эта формула — частный случай ряда Меркатора, то есть ряда Тейлора для натурального логарифма.
Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:
- <math>
\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}. </math> Это соотношение известно как ряд Лейбница.
Случайный гармонический ряд
В 2003 году изучены[5][6] свойства случайного ряда
- <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},</math>
где <math>s_n</math> — независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2, имеет значение:
отличаясь от ⅛ на менее чем 10−42.
«Истончённый» гармонический ряд
- См. Шаблон:Нп5
Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшийся ряд сходится, и его сумма меньше 80[7]. Позже была найдена более точная оценка, ряд Кемпнера сходится к <math>22{,}92067661926415034816</math> (Шаблон:OEIS). Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Из этого можно сделать ошибочное заключение о сходимости исходного гармонического ряда, что не верно, поскольку с ростом разрядов в числе <math>n</math> всё меньше слагаемых берётся для суммы «истончённого» ряда. То есть, в конечном счёте отбрасывается подавляющее большинство членов, образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.
Примечания
Шаблон:Последовательности и ряды
- ↑ Грэхэм Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. — М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — С. 47. — 703 с. ISBN 5-03-003773-X
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ 4,0 4,1 Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 718 с.
- ↑ «Random Harmonic Series», American Mathematical Monthly 110, 407—416, May 2003
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
