Русская Википедия:Геодезические на эллипсоиде
Изучение геодезических на эллипсоиде возникло в связи с задачами геодезии, а именно с обработкой сетей триангуляции. Фигура Земли хорошо описывается эллипсоидом вращения, слегка сплющенной сферой. Геодезическая (геодезическая линия) это кратчайший путь между двумя точками на кривой поверхности, на плоскости он обращается в прямую. Таким образом, обработка сети триангуляции на эллипсоиде использует ряд задач сфероидической тригонометрии[1].
Если рассматривать Землю как сферу, то геодезические являются большими кругами (все из которых замкнуты) и задача сводится к сферической тригонометрии. Однако, Шаблон:Harvtxt показал, что эффект вращения Земли приводит к сжатию, соответственно фигура обращается в сплюснутый эллипсоид вращения, в этом случае только экватор и меридианы являются простыми замкнутыми геодезическими. Кроме того, кратчайший путь между двумя точками на экваторе необязательно проходит вдоль экватора. Наконец, если эллипсоид преобразовать в трехосный (с тремя различными полуосями), то только три геодезических линий будут замкнутыми.
Геодезические на эллипсоиде вращения
Есть несколько способов определения геодезических[2]. Простое определение — кратчайший путь между двумя точками на поверхности. Однако, в общем случае более полезно определять геодезические как пути с нулевой геодезической кривизной, аналог прямых на искривленной поверхности. Это определение охватывает геодезические, протяженные так далеко по поверхности эллипсоида (несколько больше половины полуокружности) что другие различные маршруты требуют меньшего расстояния. Локально эти геодезические все еще идентичны кратчайшему расстоянию между двумя точками.
К концу 18 века эллипсоид вращения (аналогичен термину сфероид) являлся принятым и используемым приближением фигуры Земли. Обработка сетей триангуляции влечет за собой редукцию всех измерений к референц-эллипсоиду и решению исходной задачи на плоскости как задачи сфероидической тригонометрии[3][4].
Возможно свести все различные геодезические задачи к двум типам. Рассмотрим две точки: точка Шаблон:Math с широтой Шаблон:Math и долготой Шаблон:Math и Шаблон:Math с широтой Шаблон:Math и долготой Шаблон:Math (см Рис. 1). Соединяющая их геодезическая (от Шаблон:Math к Шаблон:Math) это Шаблон:Math, с длиной Шаблон:Math, у которой есть азимуты Шаблон:Math и Шаблон:Math в двух конечных точках.Шаблон:Refn Под двумя геодезическими задачами обычно понимают следующее:
- Прямая геодезическая задача или первая геодезическая задача, в которой, имея исходные Шаблон:Math, Шаблон:Math, и Шаблон:Math, определяют Шаблон:Math и Шаблон:Math;
- Обратная геодезическая задача или вторая геодезическая задача, в которой даны Шаблон:Math и Шаблон:Math, и требуется найти Шаблон:Math, Шаблон:Math, и Шаблон:Math.
Как видно из Рис. 1, решение этих проблем включает в себя решение треугольника Шаблон:Math где дан один угол, Шаблон:Math для прямой задачи и Шаблон:Math для обратной задачи, а также две его смежные стороны. Для сферы решение этих главных задач сводится к простым задачам сферической тригонометрии, решение которых сводится к формулам для решения сферического треугольника. (См. статью Большой круг.)
Для эллипсоида вращения, характерная константа, определяющая геодезическую была найдена Шаблон:Harvtxt. А систематическое решение для путей геодезических было дано Лежандром[5] и Ориани[6]. Полное решение прямой задачи (в комплексе с вычислительными таблицами и примером вычислений) дал Шаблон:Harvtxt.
На протяжении 18 века геодезические, как правило, называли «кратчайшими линиями». Термин «геодезическая линия» был введен Лапласом[7]:
Nous désignerons cette ligne sous le nom de ligne géodésique [Мы будем называть эту линию геодезическая линия].
Этот термин вошел в английский язык как «геодезическая линия» или «геодезическая», как пример[8],
A line traced in the manner we have now been describing, or deduced from trigonometrical measures, by the means we have indicated, is called a geodetic or geodesic line: it has the property of being the shortest which can be drawn between its two extremities on the surface of the Earth; and it is therefore the proper itinerary measure of the distance between those two points. [Линия, пролегающая в форме, которую мы описали, или выведенная из тригонометрических измерений, как мы указали, называется геодезической или геодезической линией: она имеет свойство быть самой короткой, которую можно провести между двумя пунктами на поверхности Земли; и, следовательно, истинным путем измерения расстояния между двумя этими пунктами.]
В применении к другим областям, термин геодезическая линия, часто сокращается до геодезической, которой было отдано предпочтение.
Этот раздел рассматривает задачу на эллипсоиде вращения (как сплюснутого, так и вытянутого). Задача на трехосном эллипсоиде рассматривается в следующем разделе.
Уравнения для геодезической
Здесь выведены уравнения для геодезической; Данный вывод объединяет уравнения Бесселя[9], Йордана-Эггерта[10], Багратуни[11], Ганшина[12], Краковски-Томпсона[13], Раппа[14], Джекелея[15] и Бора-Странга[16].
Рассмотрим эллипсоид вращения с экваториальным радиусом Шаблон:Math и полярным радиусом Шаблон:Math. Определим сжатие Шаблон:Math, эксцетриситет Шаблон:Math, и второй эксцентриситет Шаблон:Math. (В большинстве случаев, в геодезии применяется сплюснутый эллипсоид Шаблон:Math; однако, в теории применяется вытянутый эллипсоид, Шаблон:Math, причем в этом случае Шаблон:Math, Шаблон:Math, и Шаблон:Math отрицательные.)
Пусть элементарный отрезок пути на эллипсоиде имеет длину Шаблон:Math. Из Рис. 2 и 3, мы видим что если известен его азимут Шаблон:Math, то Шаблон:Math связан с Шаблон:Math и Шаблон:Math следующим образом
- (1)<math>{\color{white}.}\qquad
\cos\alpha\,ds = \rho\,d\varphi = - \frac{dR}{\sin\varphi}, \quad \sin\alpha\,ds = R\,d\lambda,</math> где Шаблон:Math представляет собой радиус кривизны меридиана, Шаблон:Math радиус круга с широтой Шаблон:Math, и Шаблон:Math представляет собой радиус нормального сечения. Следовательно элементарный отрезок равен
- <math>ds^2 = \rho^2\,d\varphi^2 + R^2\,d\lambda^2</math>
или
- <math>\begin{align}ds &= \sqrt{\rho^2\varphi'^2 + R^2}\,d\lambda \\
&\equiv L(\varphi,\varphi')\,d\lambda, \end{align} </math> Где Шаблон:Math и [[Функция Лагранжа|функция Лагранжа Шаблон:Math]] отражающая зависимость Шаблон:Math от Шаблон:Math и Шаблон:Math. Длина произвольной линии между Шаблон:Math and Шаблон:Math задается
- <math> s_{12} =
\int_{\lambda_1}^{\lambda_2} L(\varphi, \varphi')\,d\lambda,</math> где Шаблон:Math функция от Шаблон:Math удовлетворяющих Шаблон:Math и Шаблон:Math. Кратчайший путь или геодезическая находится через функцию Шаблон:Math. Это задача в области вариационного исчисления и связана с минимизацией условий. Оно задается с помощью тождества Бальтрами,
- <math>L - \varphi' \frac{\partial L}{\partial \varphi'} = \text{const.}
</math> Подставляя Шаблон:Math и применяя Форм. (1) получим
- <math>R\sin\alpha = \text{const.}</math>
Шаблон:Harvtxt вывел это соотношение, используя геометрическую конструкцию; аналогичный вывод получен Люстерником[17]. Шаблон:Refn Дифференцируя это соотношение получим
- <math>d\alpha=\sin\varphi\,d\lambda.</math>
Данное равенство совместно с уравнением (1) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для геодезической
- <math>{\color{white}.}\qquad
\frac{d\varphi}{ds} = \frac{\cos\alpha}{\rho};\quad \frac{d\lambda}{ds} = \frac{\sin\alpha}{\nu\cos\varphi};\quad \frac{d\alpha}{ds} = \frac{\tan\varphi\sin\alpha}{\nu}.</math> Мы можем выразить Шаблон:Math через приведенную широту Шаблон:Math
- <math>R = a\cos\beta,</math>
и соотношение Клеро примет вид
- <math>\sin\alpha_1\cos\beta_1 = \sin\alpha_2\cos\beta_2.</math>
Это синусоидальное правило сферической тригонометрии устанавливающее связь между двумя сторонам треугольника Шаблон:Math (см. Рис. 4) Шаблон:Math и Шаблон:Math и противолежащими углам Шаблон:Math и Шаблон:Math.
Для того чтобы найти соотношение для третьей стороны Шаблон:Math, сферической длины дуги, и прилежащего угла Шаблон:Math, сферической долготы, полезно рассмотреть треугольник Шаблон:Math, представляющий собой геодезическую, берущую начало на экваторе (см. рис. 5). На этом рисунке элементы, отнесенные к вспомогательной области, приведены с указанными в скобках значениями на эллипсоиде. Величины без индексов относятся к произвольной точке Шаблон:Math. Шаблон:Math — точка, в которой геодезическая пересекает экватор, используется в качестве начала отчета для Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math.
Если сторону Шаблон:Math увеличить путем перемещения Шаблон:Math в бесконечность (см. Рис. 6), получим
- (2)<math>{\color{white}.}\qquad
\cos\alpha\,d\sigma = d\beta, \quad \sin\alpha\,d\sigma = \cos\beta\,d\omega.</math> Комбинация формул (1) и (2) дает дифференциальное уравнение для Шаблон:Math и Шаблон:Math
- <math>\frac1a\frac{ds}{d\sigma}
= \frac{d\lambda}{d\omega} = \frac{\sin\beta}{\sin\varphi}.</math>
Соотношение Шаблон:Math и Шаблон:Math
- <math>\tan\beta = \sqrt{1-e^2} \tan\varphi = (1-f) \tan\varphi,</math>
дает
- <math>\frac{\sin\beta}{\sin\varphi} = \sqrt{1-e^2\cos^2\beta},</math>
таким образом дифференциальное уравнение для геодезической примет вид
- <math>\frac1a\frac{ds}{d\sigma} = \frac{d\lambda}{d\omega}
= \sqrt{1-e^2\cos^2\beta}.</math>
Последний шаг состоит в использовании Шаблон:Math в качестве независимого параметра в обоих дифференциальных уравнениях для выражения Шаблон:Math и Шаблон:Math в интегральном виде. Применение синусоидальное правила к вершинам Шаблон:Math и Шаблон:Math в сферическом треугольнике Шаблон:Math на Рис. 5 дает
- <math>\sin\beta = \sin\beta(\sigma;\alpha_0) =
\cos\alpha_0 \sin\sigma,</math> где Шаблон:Math азимут при вершине Шаблон:Math. Подставляя в уравнение для Шаблон:Math и интегрируя получим
- (3)<math>{\color{white}.}\qquad
\frac sb = \int_0^\sigma \sqrt{1 + k^2 \sin^2\sigma'}\,d\sigma', </math> где
- <math>k = e'\cos\alpha_0,</math>
причем вводится ограничение Шаблон:Math. Шаблон:Harvtxt указывает на то, что уравнение для Шаблон:Math такое же, как уравнение для дуги на эллипсоиде с полуосями Шаблон:Math и Шаблон:Math. Для того, чтобы выразить уравнение для Шаблон:Math через Шаблон:Math, запишем
- <math>d\omega = \frac{\sin\alpha_0}{\cos^2\beta}\,d\sigma,</math>
что следует из уравнения (2) и соотношения Клеро. Это позволяет получить
- (4)<math>{\color{white}.}\qquad
\lambda - \lambda_0 = \omega - f\sin\alpha_0 \int_0^\sigma\frac {2-f}{1 + (1-f)\sqrt{1 + k^2\sin^2\sigma'}} \,d\sigma', </math> причем применяются следующие ограничения: Шаблон:Math на пересечении экватора и Шаблон:Math.
Это завершает нахождение длины геодезической с использованием вспомогательной сферы. Использование данного способа позволяет точно сопоставить большой круг с геодезической на эллипсоиде вращения.
Существует также несколько способов аппроксимации геодезических на земном эллипсоиде (с малым сжатием)[18]; некоторые из них описаны в статье о географическом расстоянии. Тем не менее, они, как правило, сопоставимы по сложности точному решению Джекелея[19].
Поведение геодезических
На Рис. 7 показаны простые замкнутые геодезические, которые состоят из меридианов (зеленые) и экватора (красный). (Здесь под определением «простая» подразумевается, что геодезическая замыкается без промежуточного самопересечения.) Это следует из уравнений для геодезических, приведенных в предыдущем разделе.
Все остальные геодезические изображены на Рис. 8 и 9, которые показывают геодезические начиная от экватора с Шаблон:Math. Геодезическая колеблется вокруг экватора. Пересечения экватора называются узлы, а точки максимума и минимума широты называются вершинами; вершины широты задаются: Шаблон:Math. Геодезическая совершает одно полное колебание в широте до того, как долгота увеличится на Шаблон:Val. Таким образом, на каждом последующем северном пересечении экватора (Рис. 8), Шаблон:Math отстает от полного круга экватора приблизительно на Шаблон:Math (для вытянутого эллипсоида эта величина отрицательна и Шаблон:Math совершает более, чем один полный круг; см. Рис. 10). Почти для всех значений Шаблон:Math, геодезическая покроет область эллипсоида между двумя параллелями с максимальной и минимальной широтой (Рис. 9).
Если эллипсоид достаточно сплюснутый, то есть, Шаблон:Math, возможен еще один вид простых замкнутых геодезических[20]. Две такие геодезические показаны на Рис. 11 и 12. Здесь Шаблон:Math и экваториальный азимут, Шаблон:Math, для зеленой (соотв. синей) геодезической задан как Шаблон:Val (соотв. Шаблон:Val), так что геодезическая совершает 2 (соотв. 3) полных колебания относительно экватора на одном круге по эллипсоиду.
На Рис.13 показаны геодезические (синим) исходящие из Шаблон:Math с Шаблон:Math, кратным Шаблон:Val вплоть до то точки, в которой они перестают быть кратчайшими путями. (Сжатие было увеличено до Шаблон:Frac чтобы подчеркнуть эллипсоидальные эффекты.) Также показаны (зеленым) кривые с постоянной Шаблон:Math, которые являются геодезическими окружностями с центром Шаблон:Math. Шаблон:Harvtxt показал, что на любой поверхности, геодезические и геодезический круг пересекаются под прямым углом. Красная линия — множество раздела (катлокус), множество точек, которые имеют несколько (в данном случае две) кратчайших геодезических из Шаблон:Math. На сфере катлокус является точкой. На сплющенном эллипсоиде (показанном здесь) он представляет собой сегмент параллели с центром в точке, диаметрально противоположной Шаблон:Math, Шаблон:Math. Протяженность катлокуса по долготе приблизительно Шаблон:Math. Если Шаблон:Math лежит на экваторе, Шаблон:Math, это соотношение является точным и, как следствие, экватор является кратчайшей геодезической, только если выполняется условие Шаблон:Math. Для вытянутого эллипсоида, катлокус представляет собой сегмент анти-меридиана с центром в точке, диаметрально противоположной Шаблон:Math, Шаблон:Math, и это означает, что меридианные геодезические перестают быть кратчайшими путями при достижении противоположной точки.
Решение прямых и обратных задач
Решение геодезических задач подразумевает проектирование геодезических на вспомогательную сферу и решение соответствующих задач по большому кругу. При решении «элементарного» сферического треугольника Шаблон:Math на Рис.5, по правилу Непера получим,
- <math>
\begin{align} \sin\alpha_0 &= \sin\alpha \cos\beta = \tan\omega \cot\sigma, \\ \cos\sigma &= \cos\beta \cos\omega = \tan\alpha_0 \cot\alpha, \\ \cos\alpha &= \cos\omega \cos\alpha_0 = \cot\sigma \tan\beta, \\ \sin\beta &= \cos\alpha_0 \sin\sigma = \cot\alpha \tan\omega, \\ \sin\omega &= \sin\sigma \sin\alpha = \tan\beta \tan\alpha_0. \end{align} </math> Определение геодезических включает в себя решение интегралов для расстояния, Шаблон:Math, и долготы, Шаблон:Math, Ур. (3) и (4) которые, в свою очередь, зависят от параметра Шаблон:Math.
Решение прямой задачи не вызывает сложности, потому что Шаблон:Math может быть определен непосредственно из заданных величин Шаблон:Math и Шаблон:Math.
В случае обратной задачи, Шаблон:Math задана; из этого нельзя быстро перейти к эквивалентному сферическому углу Шаблон:Math, потому что Шаблон:Math неизвестен. Таким образом, для решения задачи требуется находить Шаблон:Math итеративно.
В геодезии, где Шаблон:Math мал, интегралы раскладываются в ряд[21][22][23][24][25][26]. Для любых Шаблон:Math, интегралы (3) и (4) могут быть найдены численно или выражением их в эллиптические интегралы[21][27].
Шаблон:Harvtxt предоставляет решения для прямых и обратных задач; они основаны на разложении в ряд до третьего порядка в сжатии и обеспечивают точность около Шаблон:Val для эллипсоида WGS84; однако обратный метод не сходится для практически диаметрально противоположных точек. Шаблон:Harvtxt продолжает разложение до шестого порядка, чего достаточно для обеспечения полной двойной точности для Шаблон:Math и повышает точность решения обратной задачи, так, что она сходится во всех случаях. Шаблон:Harvtxt расширил возможности использования эллиптических интегралов, которые могут быть применены к эллипсоидам с произвольным сжатием.
Различные свойства геодезических
Различные задачи, связанные с геодезическими требуют знания об их поведении при возмущении. Это полезно при уравнивании тригонометрии[28], определение физических свойств сигналов, проходящих по геодезической, и т. д. Рассмотрим опорную геодезическую, выраженную как Шаблон:Math, и другую геодезическую на малом расстоянии Шаблон:Math от первой. Шаблон:Harvtxt показал, что Шаблон:Math удовлетворяют уравнению Гаусса — Якоби
- <math>{\color{white}.}\qquad
\displaystyle\frac{d^2t(s)}{ds^2} = K(s) t(s), </math>
где Шаблон:Math является Гауссовой кривизной для Шаблон:Math.
В качестве второго порядка линейного однородного дифференциального уравнения, его решение может быть выражено как сумма двух независимых решений
- <math> t(s_2) = C m(s_1,s_2) + D M(s_1,s_2) </math>
где
- <math>
\begin{align} m(s_1, s_1) &= 0, \quad \left.\frac{dm(s_1,s_2)}{ds_2}\right|_{s_2 = s_1} = 1, \\ M(s_1, s_1) &= 1, \quad \left.\frac{dM(s_1,s_2)}{ds_2}\right|_{s_2 = s_1} = 0. \end{align} </math> Величина Шаблон:Math является так называемой уменьшенной длиной, и Шаблон:Math масштабом геодезической.Шаблон:Refn Их основные определения приведены на Рис. 14.
Гауссова кривизна для эллипсоида вращения:
- <math>
K = \frac1{\rho\nu} = \frac{\bigl(1-e^2\sin^2\varphi\bigr)^2}{b^2}
= \frac{b^2}{a^4\bigl(1-e^2\cos^2\beta\bigr)^2}.
</math> Шаблон:Harvtxt решил уравнение Гаусса — Якоби для этого случая, позволяющим выразить Шаблон:Math and Шаблон:Math в интегральной форме.
Как видно из Рис. 14 (верхний подрисунок), разделение двух геодезических, начиная с одно и той же точки с азимутами, различающимися на Шаблон:Math представляется как Шаблон:Math. На замкнутой поверхности, например на эллипсоиде, Шаблон:Math колеблется около нуля. Точка, в которой Шаблон:Math обращается в ноль, это точка сопряженная с исходной точкой. Для геодезической между Шаблон:Math и Шаблон:Math, длиной Шаблон:Math, чтобы быть кратчайшим путем, необходимо удовлетворять условию Якоби[29][30][31][32], так что нет никакого смысла сопрягать Шаблон:Math между Шаблон:Math и Шаблон:Math. Если это условие не выполняется, то поблизости есть путь (не обязательно являющийся геодезической), который короче. Таким образом, условие Якоби является локальным свойством геодезической и необходимым условием, при котором геодезическая является кратчайшим путем. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы геодезическая являлась кратчайшим путем:
- для сжатого эллипсоида, Шаблон:Math;
- для вытянутого эллипсоида, Шаблон:Math, если Шаблон:Math; если Шаблон:Math, то дополнительное условие Шаблон:Math требуется, если Шаблон:Math.
Конверт геодезической
Геодезические, проведённые из опредёленной точки Шаблон:Math, если они продолжаются после точки разрыва, образуют конверт изображённый на Рис. 15. Здесь геодезические для которых Шаблон:Math кратен Шаблон:Val Показаны голубым цветом. (Геодезические показаны только для первого прохождения вблизи точки-антипода) Геодезические окружности показаны зеленым цветом; Они образуют на конверте зажимы. Место разреза показано красным цветом. Конверт — это место сопряжённых с Шаблон:Math точек; точки на конверте могут быть вычислены путём нахождения точки, в которой Шаблон:Math на геодезической. Шаблон:Harvtxt называет эту звезду рисунком полученным в конверте Астроиды.
За пределами астроиды две геодезические пересекаются в каждой точке. Таким образом там имеются две геодезические линии между точкой А и этими точками. Это соответствует ситуации на той сфере, где есть «короткие» и «длинные» линии по большой окружности между двумя точками. Внутри же астроиды четыре геодезические пересекаются в каждой точке. Четыре таких геодезических показаны на Рис. 16, где геодезические пронумерованы в порядке увеличения длины. (На этом рисунке используется такое же как на Рис.13 положение точки Шаблон:Math и изображается в той же проекции.) Две кратчайшие геодезические являются стабильными, то есть, Шаблон:Math, причем нет другой более короткой линии, соединяющей две точки; другие две нестабильны. Только самая короткая (первая) линия имеет Шаблон:Math. Все геодезические являются касательными к конверту, который показан зеленым цветом на рисунке.
Астроида (внешне) эволюта геодезических кругов с центром в точке Шаблон:Math. Аналогично, геодезические являются эвольвентой астроиды.
Площадь геодезического полигона
Геодезический полигон — это полигон, сторонами которого являются геодезические. Такой полигон можно найти, предварительно вычислив площадь между отрезком геодезической и экваторм, то есть площадь четырехугольника AFHB на Рис. 1[33]. Когда эта площадь известна, площадь полигона может быть вычислена путем суммирования областей всех рёбер полигона.
Выражение для области Шаблон:Math в Шаблон:Math разработано СьобергомШаблон:Sfn. Площадь любой закрытой области эллипсоида можно найти по формуле
- <math> T = \int dT = \int \frac1K \cos\varphi\,d\varphi\,d\lambda,
</math> где Шаблон:Math элемент площади поверхности, а Шаблон:Math — Гауссова кривизна. Приведем формулу Гаусса — Бонне, применяемую для геодезических полигонов
- <math>
\Gamma = \int K \,dT = \int \cos\varphi\,d\varphi\,d\lambda, </math> где
- <math>
\Gamma = 2\pi - \sum_j \theta_j </math> является геодезическим избытком и Шаблон:Math внешний угол при вершине Шаблон:Math. Увеличив уравнение на величину Шаблон:MathШаблон:Math, где Шаблон:Math — подлинный радиус, вычитание которого из уравнения для Шаблон:Math даёт
- <math>
\begin{align} T &= R_2^2 \,\Gamma + \int \biggl(\frac1K - R_2^2\biggr)\cos\varphi\,d\varphi\,d\lambda \\ &=R_2^2 \,\Gamma + \int \Biggl( \frac{b^2}{\bigl(1 - e^2\sin^2\varphi\bigr)^2} - R_2^2 \Biggr)\cos\varphi\,d\varphi\,d\lambda, \end{align} </math> где Шаблон:Math было заменено значением кривизны для эллипсоида. Применяя эту формулу к четырёхугольнику Шаблон:Math и заметив, что Шаблон:Math проинтегрируем по Шаблон:Math
- <math>
S_{12}=R_2^2 (\alpha_2-\alpha_1) + b^2 \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \biggl( \frac1{2\bigl(1 - e^2\sin^2\varphi\bigr)}+ \frac{\tanh^{-1}(e \sin\varphi)}{2e \sin\varphi} - \frac{R_2^2}{b^2}\biggr)\sin\varphi \,d\lambda, </math> где Интеграл находится над геодезической линией (так, что Шаблон:Math является косвенной функцией от Шаблон:Math). Интеграл может быть выражен в виде ряда, допустимого для малых Шаблон:Math[33][34].
Площадь геодезического полигона задаётся суммированием Шаблон:Math по его сторонам. Этот результат выполняется при условии, что полигон не включает полюс; если же включает, то к сумме должно быть добавлено Шаблон:Math. Если ребра заданы их вершинами, то удобным выражением для геодезического избытка Шаблон:Math является
- <math>
\tan\frac{E_{12}}2 = \frac{\sin\tfrac12 (\beta_2 + \beta_1)} {\cos\tfrac12 (\beta_2 - \beta_1)} \tan\frac{\omega_{12}}2. </math>
Геодезические на трёхосном эллипсоиде
Трёхосная система координат
Рассмотрим эллипсоид, определяемый по формуле
- <math>
h = \frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} + \frac{Z^2}{c^2} = 1,
</math>
где Шаблон:Math декартовы координаты с началом в центре эллипсоида и без потери примем обобщение, Шаблон:Math.Шаблон:Refn Шаблон:Harvtxt установил что эллипсоидальные широты и долготы Шаблон:Math определяются следующим образом:
- <math>
\begin{align}
X &= a \cos\omega
\frac{\sqrt{a^2 - b^2\sin^2\beta - c^2\cos^2\beta}}
{\sqrt{a^2 - c^2}}, \\
Y &= b \cos\beta \sin\omega, \\
Z &= c \sin\beta
\frac{\sqrt{a^2\sin^2\omega + b^2\cos^2\omega - c^2}}
{\sqrt{a^2 - c^2}}.
\end{align} </math>
в пределе Шаблон:Math, Шаблон:Math становится параметрической широтой для сплющенного эллипсоида, поэтому использование символа Шаблон:Math согласуется с предыдущими разделами. Однако, Шаблон:Math отлична от сферической долготы, определяемой выше.Шаблон:Refn
Линии сетки константы Шаблон:Math (показаны синим цветом) и Шаблон:Math (показаны зеленым цветом) изображены на Рис. 17. Это константа позволяет создать ортогональную систему координат: линии сетки пересекаются под прямым углом. Основными сечениями эллипсоида являются показанные красным цветом Шаблон:Math и Шаблон:Math. Третий основной разрез, Шаблон:Math, образуется линиями Шаблон:Math и Шаблон:Math or Шаблон:Math. Эти линии пересекаются в четырёх точках округления (две из которых видны на этом рисунке), где главные радиусы кривизны равны между собой. Здесь и на других рисунках в секциях в качестве параметров эллипсоида принято Шаблон:Math и рассматривается ортогональная проекция для точки с Шаблон:Math, Шаблон:Math.
Линии сетки эллипсоидальных координат могут быть определены в трёх направлениях разными способами:
- Они являются «линиями кривизны» на эллипсоиде: они параллельны направлениям главной кривизны[35].
- Они также являются пересечениями эллипсоида с конфокальной системой гиперболоидов из одного и двух листов[36].
- Наконец, они являются геодезическими эллипсами и гиперболами, определёнными с использованием двух соседних точек округления[37]. Например, линии с постоянной Шаблон:Math на Рис. 17 может быть сгенерирована с помощью привычной струнной конструкции для эллипсов с концами струны, прикрепленными к двум точкам округления.
Решение Якоби
Якоби показал, что геодезические уравнения, выраженные через эллипсоидальные координаты, являются разделяемыми. Вот как он рассказывал о своем открытии другу и соседу Бесселю[38],
Позавчера я свел к квадратуре задачу геодезической линии на эллипсоиде с тремя неравными осями. Это самые простые формулы в мире, Абелевы интегралы, которые становятся хорошо известными эллиптическими интегралами, если две оси заданы равными.
Кёнигсберг, 28 декабря '38.
Решение Якоби имеет вид[39][40]
- <math>
\begin{align} \delta &= \int \frac {\sqrt{b^2\sin^2\beta + c^2\cos^2\beta}\,d\beta} {\sqrt{a^2 - b^2\sin^2\beta - c^2\cos^2\beta}
\sqrt{\bigl(b^2-c^2\bigr)\cos^2\beta - \gamma}} \\[6pt]
&\quad - \int \frac {\sqrt{a^2\sin^2\omega + b^2\cos^2\omega}\,d\omega} {\sqrt{a^2\sin^2\omega + b^2\cos^2\omega - c^2}
\sqrt{\bigl(a^2-b^2\bigr)\sin^2\omega + \gamma}}.
\end{align} </math>
Как отмечает Якоби «функция угла Шаблон:Math равна функции угла Шаблон:Math. Эти две функции представляют собой только Абелевы интегралы…» В решении появляются две константы Шаблон:Math и Шаблон:Math. Обычно Шаблон:Math равно нулю если нижние пределы интегралов в начальной точке геодезической равны и направление геодезической определяется по формуле Шаблон:Math. Однако, для геодезической начинающейся в точке округления мы имеем Шаблон:Math и Шаблон:Math, определяющую направление в точку округления. Константа Шаблон:Math может быть найдена следующим образом
- <math>
\gamma = \bigl(b^2-c^2\bigr)\cos^2\beta\sin^2\alpha- \bigl(a^2-b^2\bigl)\sin^2\omega\cos^2\alpha, </math>
где Шаблон:Math между геодезической и линией с постоянным значением Шаблон:Math. В пределе Шаблон:Math, что позволяет получить равенство Шаблон:Math, являющееся знакомым соотношением Клеро. Вывод решения Якоби приведен ДарбуШаблон:Sfn; он приводит решение найденное ЛуивиллемШаблон:Sfn для общей квадратичной поверхности.
Изучение трехосных геодезических
На триаксиальном эллипсоиде существует только три простых замкнутых геодезических: три главных сечения эллипсоида, для которых X = 0, Y = 0 и Z = 0 .Шаблон:Refn Для изучения других геодезических, удобно рассматривать геодезические которые пересекают среднее основное сечение, Шаблон:Math, под прямым углом. Такие геодезические линии показаны на Рис. 18-22, которые используют те же параметры эллипсоида и рассматриваются под таким же углом, что и на Рис. 17. Кроме того, показаны три главных эллипса красным цветом на каждом из этих рисунков.
Если начальная точка имеет координаты Шаблон:Math, Шаблон:Math, и Шаблон:Math, то Шаблон:Math и геодезическая окружает эллипсоид в «циркумполярном» смысле. Геодезическая линия смещается к северу и югу от экватора; при каждом смещении он совершает чуть меньше, чем полный круг вокруг эллипсоида в результате, как правило, геодезическая заполняет всю область ограниченную параллелями с широтами Шаблон:Math. Два примера приведены на Рис. 18 и 19. Рисунок 18 показывает практически такое же поведение, что и для сплющенного эллипсоида вращения(так как Шаблон:Math); сравните с Рис. 9. Однако, если начальная точка находится на более высокой широте (Рис. 18), искажения, возникающие в результате Шаблон:Math очевидны. Все касательные к циркумполярной геодезической линии соприкасаются с конфокальной однолистовым гиперболоидом, пересекающим эллипсоид при Шаблон:Math[41][42].
Если начальная точка имеет координаты Шаблон:Math, Шаблон:Math, и Шаблон:Math, то Шаблон:Math и геодезическая окружает эллипсоид в" трансполярном " смысле. Геодезическая колеблется к востоку и западу от эллипса с Шаблон:Math; на каждом колебании она совершает чуть больше, чем полный круг вокруг эллипсоида. Как правило, это приводит к заполнению геодезической всей области ограниченной параллелями с долготами Шаблон:Math и Шаблон:Math. Если Шаблон:Math, то все меридианы являются геодезическими; эффект от Шаблон:Math вызывает такие геодезические колебания на восток и Запад. Два примера приведены на Рис. 20 и 21. Сужение геодезическая вблизи полюса исчезает в пределе Шаблон:Math; в этом случае эллипсоид становится вытянутым, и Рис. 20 будет напоминать Рис. 10 (поворачивается на бок). Все касательные к трансполярной геодезической касаются конфокального двухслойного гиперболоида пересекающий эллипсоид при Шаблон:Math.
Если начальная точка имеет координаты Шаблон:Math, Шаблон:Math (точка округления), и Шаблон:Math (геодезический пересекает эллипс Шаблон:Math под прямым углом), то Шаблон:Math и геодезическая неоднократно пересекает противоположную точку округления и возвращается к своей начальной точке. Однако на каждом circuit угол, под которым он пересекает Шаблон:Math становится ближе к Шаблон:Val или Шаблон:Val так что асимптотически геодезическая лежит на эллипсе Шаблон:Math[43][44], как показано на Рис. 22. Одна геодезическая не заполняет область на эллипсоиде. Все касательные к круговой геодезической касаются конфокальной гиперболы, которая пересекает эллипсоид в точке округления.
Круговая геодезическая обладает несколькими интересными свойствами.
- Через любую точку на эллипсоиде проходят две круговые геодезические линии.
- Геодезическое расстояние между противоположными точками округления независимо от начального направления геодезической.
- В то время как замкнутые геодезические на эллипсах Шаблон:Math и Шаблон:Math являются стабильными (геодезическая, изначально близкая к эллипсу и почти параллельная ему, остается близкой к эллипсу), замкнутая геодезическая на эллипсе Шаблон:Math, которая проходит через все 4 точки округления, экспоненциально неустойчива. Если она будет возмущена, то будет колебаться в плоскости Шаблон:Math и перевернется, прежде чем вернуться к этой плоскости. (Это поведение может повторяться в зависимости от характера начального возмущения.)
Если начальная точка Шаблон:Math геодезической не является круговой точкой, то ее оболочка — это астроид с двумя вершинами лежащими на Шаблон:Math и двумя на Шаблон:Math. Локус разреза для точки Шаблон:Math является частью линии Шаблон:Math между вершинами.
Приложения
Прямая и обратная геодезические задачи ныне не занимают в геодезии центральную роль, которую занимали ранее. Вместо уравнивания геодезической сети, как двухмерной задачи сфероидической тригонометрии, эти проблемы сейчас решаются трехмерными методами[45]. Тем не менее, земные геодезические все еще играют важную роль в некоторых областях:
- в измерении расстояний и площадей в ГИС;
- в определении морских границ[46];
- для местной навигации, согласно правилам Федерального управления гражданской авиации[47];
- как метод измерения расстояний в ФАИ[48].
По принципу наименьшего влияния, многие проблемы в физике могут быть сформулированы в виде дифференциальной задачи, аналогичной такой же для геодезических. Геодезическая эквивалентна отрезку пути движения частицы по поверхности в отсутствие воздействия на неё каких-либо сил[49][50]. По этой причине геодезические на простых поверхностях, таких как эллипсоид вращения или трехосный эллипсоид чаще используются в качестве «тестовых» при изучении новых методов. Примеры:
- исследование эллиптических интегралов[51] и эллиптических функций[52];
- развитие дифференциальной геометрии[53][54];
- методы решения систем дифференциальных уравнений по изменению независимых переменных[55];
- изучение каустики[56];
- исследование числа и устойчивости периодических орбит[57];
- в пределе Шаблон:Math, геодезические на трехосном эллипсоиде сводятся к случаю динамического бильярда;
- расширения для произвольного числа измерений[58];
- геодезический поток на поверхности[59].
См. также
- Географическая дальность
- Навигация по большому кругу
- Геодезия
- Дуга меридиана
- Румбовая линия
- Формулы Винсенти
Примечания
Ссылки
- Шаблон:Книга
- Шаблон:H
- Шаблон:Книга
- Шаблон:H. — «. English translation of Astron. Nachr. 4, 241—254 (1825). Errata.».
- Шаблон:Статья. — « (free access).».
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Cite techreport
- Шаблон:Статья. — «. Figures.».
- Шаблон:Cite techreport
- Шаблон:Книга
- Шаблон:H
- Шаблон:H
- Шаблон:Статья
- Шаблон:H
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья. — «. Letter to Bessel, Dec. 28, 1838. French translation (1841).».
- Шаблон:H
- Шаблон:H
- Шаблон:H
- Шаблон:H
- Шаблон:Статья. — « (open access). Addenda.».
- Шаблон:Cite web
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:H
- Шаблон:H
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:H
- Шаблон:Cite web
- Шаблон:H
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:H
- Шаблон:H
- Шаблон:Cite techreport
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Cite techreport
- Шаблон:Статья. — «. Addendum: Survey Review 23 (180): 294 (1976).».
- Шаблон:Cite techreport
- Шаблон:Статья. — «. PDF.».
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harvtxt
- ↑ Шаблон:Harvtxt (а также последующими работами в Шаблон:Harvtxt и Шаблон:Harvtxt)
- ↑ Шаблон:Harvtxt
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harvtxt
- ↑ Шаблон:Harvtxt
- ↑ Шаблон:Harvtxt
- ↑ Шаблон:Harvtxt
- ↑ Шаблон:Harvtxt
- ↑ Шаблон:Harvtxt
- ↑ Шаблон:Harvtxt
- ↑ Шаблон:Harvtxt
- ↑ Шаблон:Harvtxt
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ 21,0 21,1 Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ 33,0 33,1 Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
- ↑ Шаблон:Harv
