Русская Википедия:Гиперболическая ортогональность
Гиперболическая ортогональность — понятие в Евклидовой геометрии. Две линии называются гиперболически ортогональными, когда они являются отражением друг от друга по асимптоте данной гиперболы.
На плоскости часто используются две особые гиперболы:
- (A) xy = 1 при y = 0 как асимптота.
- При отражении по оси x, линия y = mx становится y = -mx .
- В этом случае линии являются гиперболическими ортогональными, если их угловые коэффициенты являются противоположными числами.
- (B) x2 — y2 = 1 при y = x как асимптота.
- Для линий y = mx при −1 < m < 1, когда x = 1/m, то y = 1.
- Точка (1/m , 1) на линии отражается через y = x в (1, 1/m).
- Поэтому отраженная линия имеет наклон 1/m, а угловые коэффициенты гиперболических ортогональных линий — обратные друг для друга.
Отношение гиперболической ортогональности фактически применяется к классам параллельных прямых на плоскости, где любая конкретная линия может представлять класс. Таким образом, для данной гиперболы и асимптоты A пара прямых (a, b) являются гиперболическими ортогональными, если существует пара (c, d) такая, что <math>a \rVert c ,\ b \rVert d </math>, а c — это отражение d через A.
Свойство радиуса, ортогонального к касательной на кривой, расширяется от круга на гиперболу при помощи понятия гиперболической ортогональности.[1][2]
С момента появления в 1908 году пространства-времени Минковского была введена концепция гиперболически ортогональных к линии времени (касательная к мировой линии) точек в плоскости пространства-времени, для определения одновременности событий относительно заданной линии времени. В исследовании Минковского используется гипербола типа (B).[3] Два вектора <math>x, y, z, t \quad \text {и}\quad x_1, y_1, z_ 1, t_1</math> являются нормальными (в смысле гиперболической ортогональности) когда
- <math>c^{2} t \ t_1 - x \ x_1 - y \ y_1 - z \ z_1 = 0.</math>
Где c = 1, y и z равны нулю, x ≠ 0, t1 ≠ 0, то <math>\frac t x = \frac{x_1} {t_1}</math>.
В аналитической геометрии для описания ортогональности используется билинейная форма, причем два элемента ортогональны, когда их билинейная форма обращается в нуль. В плоскости комплексных чисел <math>z_1 =u + iv, \quad z_2 = x + iy</math>, билинейная форма есть <math>xu + yv</math>, тогда как в плоскости гиперболических чисел <math>w_1 = u + jv,\quad w_2 = x +jy,</math> билинейная форма есть <math>xu - yv .</math>
- Два вектора z1 и z2 в комплексной плоскости, и w1 и w2 в гиперболической плоскости называются соответственно евклидово ортогональными и гиперболически ортогональными, если их соответствующие внутренние произведения билинейных форм равны нулю.[4]
Для данной гиперболы с асимптотой А, ее отражение в А дает сопряженную гиперболу. Любой диаметр исходной гиперболы отражается в Шаблон:Не переведено 3. В теории относительности направления, заданные сопряженными диаметрами, берутся в качестве пространственных и временных осей.
Как писал E. Т. Уиттакер в 1910 году, «гипербола не изменяется, если любая пара сопряженных диаметров принимается за новые оси, а новая единица длины берется пропорционально длине любого из этих диаметров».[5] На этом принципе относительности он затем написал преобразования Лоренца в современной форме с использованием понятия быстрота.
Эдвард Б. Уилсон и Гилберт Н. Льюис разработали концепцию в рамках синтетической геометрии в 1912 году. Они отмечают, что «в нашей плоскости ни одна пара перпендикулярных гиперболически-ортогональных линий не подходит в качестве осей координат лучше, чем любая другая пара»[1]
Понятие гиперболической ортогональности возникло в аналитической геометрии с учетом сопряженных диаметров эллипсов и гипербол.[6] Если g и g' представляют собой угловые коэффициенты сопряженных диаметров, то <math>g g' = - \frac{b^2}{a^2}</math> в случае эллипса и <math>g g' = \frac{b^2}{a^2}</math> в случае гиперболы. Если a = b, эллипс представляет собой окружность, сопряженные диаметры перпендикулярны, гипербола — прямоугольная, а сопряженные диаметры — гиперболически ортогональны.
В терминологии проективной геометрии операция взятия гиперболической ортогональной линии есть инволюция. Предположим, что угловой коэффициент вертикальной линии обозначен как ∞, тогда все линии имеют угловой коэффициент в проективно расширенной числовой прямой. Затем, в зависимости от того, какая из гипербол (A) или (B) используется, операция является примером гиперболической инволюции, где асимптота инвариантна.
Примечания
Литература
- G. D. Birkhoff (1923) Relativity and Modern Physics, pages 62,3, Harvard University Press.
- Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski Space, Birkhäuser Verlag, Basel. See page 38, Pseudo-orthogonality.
- Шаблон:Iw (1987) Orthogonality and Spacetime Geometry, chapter 1: A Trip on Einstein’s Train, Universitext Springer-Verlag Шаблон:ISBN
- Шаблон:Книга
- ↑ 1,0 1,1 Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) «The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics» Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387-507, esp. 415
- ↑ Bjørn Felsager (2004), Through the Looking Glass — A glimpse of Euclid’s twin geometry, the Minkowski geometry Шаблон:Wayback, ICME-10 Copenhagen; pages 6 & 7.
- ↑ Шаблон:Citation
- Различные английские переводы на Wikisource: Space and Time
- ↑ Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane Шаблон:Wayback, also published in College Mathematics Journal 26:268-80.
- ↑ E. T. Whittaker (1910) A History of the theories of aether and electricity Dublin: Longmans, Green and Co. (see page 441)
- ↑ Barry Spain (1957) Analytical Conics Шаблон:Wayback, ellipse § 33, page 38 and hyperbola § 41, page 49, from Hathi Trust