Русская Википедия:Гипотеза Эрдёша — Грэма

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Гипотеза Эрдёша — Грэма — предположение в комбинаторной теории чисел относительно проблемы разбиения множества целых чисел, больших единицы, на конечное число подмножеств, одно из которых можно использовать для образования египетской дроби, представляющей единицу. Эрдёш и Грэм высказали предположение, что для любого <math>r>0</math> и любой <math>r</math>-раскраски целых чисел, больших единицы, имеется конечное одноцветное подмножество <math>S</math> этих целых чисел, такое что:

<math>\sum_{n\in S}\frac{1}{n} = 1</math>,

и максимальный элемент множества <math>S</math> можно ограничить значением <math>b^r</math> с некоторой константой <math>b</math>, независимой от <math>r</math>. Известно, что для верности этого утверждения необходимо, чтобы <math>b</math> было не меньше числа <math>e</math>.

Гипотеза доказана Шаблон:Нп2 в 2003 году, установленная оценка <math>b</math> очень велика — число должно быть не больше <math>e^{167000}</math>. Результат Крута вытекает из более общей теоремы, утверждающий о существовании представления единицы в виде египетской дроби для множеств <math>C</math> гладких чисел в интервалах вида <math>[X, X^{1+\delta}]</math>, где <math>C</math> содержит достаточно много чисел, сумма обратных величин которых не меньше шести. Гипотеза Эрдёша — Грэма выводится из этого результата путём нахождения интервала, в котором сумма обратных величин всех гладких чисел будет как минимум <math>6r</math>. Таким образом, если целые числа <math>r</math>-раскрашены, должно существовать одноцветное подмножество <math>C</math>, удовлетворяющее условию теоремы Крута.

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Ernie Croot’s Webpage Шаблон:Wayback

Шаблон:Rq