Русская Википедия:Десятичный логарифм
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа <math>b</math> есть решение уравнения <math>10^x=b.</math>
Вещественный десятичный логарифм числа <math>b</math> существует, если <math>b>0</math> (комплексный десятичный логарифм существует для всех <math>b\ne 0</math>). Международный стандарт ISO 31-11 обозначает его <math>\lg\,b</math>. Примеры:
- <math>\lg\,1=0;\, \lg\,10=1;\, \lg\,100=2</math>
- <math>\lg\,1000000=6;\, \lg\,0{,}1=-1;\, \lg\,0{,}001=-3</math>
В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: <math>\operatorname{log}, \operatorname{Log}, \operatorname{Log10}</math>, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.
Алгебраические свойства
В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительныШаблон:Sfn:
| Формула | Пример | |
|---|---|---|
| Произведение | <math> \lg(x y) = \lg (x) + \lg (y)</math> | <math> \lg (10000) = \lg(100 \cdot 100) = \lg (100) + \lg (100) = 2 + 2 = 4</math> |
| Частное от деления | <math>\lg \!\left(\frac x y \right) = \lg (x) - \lg (y)</math> | <math> \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3</math> |
| Степень | <math>\lg(x^p) = p \lg (x)</math> | <math> \lg (10000000) = \lg (10^7) = 7 \lg (10) = 7</math> |
| Корень | <math>\lg \sqrt[p]{x} = \frac {\lg (x)} p</math> | <math> \lg \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\lg 1000 = \frac{3}{2} = 1{,}5 </math> |
Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:
- <math>\lg |x y| = \lg (|x|) + \lg (|y|),</math>
- <math>\lg \!\left|\frac x y \right| = \lg (|x|) - \lg (|y|),</math>
Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:
- <math> \lg(x_1 x_2 \dots x_n) = \lg (x_1) + \lg (x_2) + \dots + \lg (x_n)</math>
Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел <math>x, y</math> с помощью логарифмических таблицШаблон:Переход производилось по следующему алгоритму:
- Найти в таблицах логарифмы чисел <math>x, y</math>.
- Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения <math>x \cdot y</math>.
- По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.
Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.
Связь десятичного и натурального логарифмовШаблон:Sfn:
- <math>\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x; \quad \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x</math>
Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:
- <math>\lg\,0{,}012=\lg\,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg\,1{,}2\approx-2+0{,}079181=-1{,}920819</math>
Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:
- <math>\lg\,0{,}012\approx-2+0{,}079181=\bar{2}{,}079181</math>
Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.
Функция десятичного логарифма
Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: <math>y = \lg\,x.</math> Она определена при всех <math>x>0.</math> Область значений: <math>E(y)=(-\infty; + \infty )</math>. График этой кривой часто называется логарифмикой[1].
Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:
- <math>\frac {d} {dx} \lg\, x = \frac {\lg\, e} {x}</math>
Ось ординат <math>(x=0)</math> является вертикальной асимптотой, поскольку:
- <math>\lim_{x \to 0+0} \lg\, x = - \infty</math>
Применение
Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа <math>x</math> (характеристику логарифма) <math>[\lg x]</math> легко определить.
- Если <math>x \geqslant 1</math>, то <math>[\lg x]</math> на 1 меньше числа цифр в целой части числа <math>x</math>. Например, сразу очевидно, что <math>\lg 345</math> находится в промежутке <math>(2,3)</math>.
- Если <math>0<x<1</math>, то ближайшее к <math>\lg x</math> целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в <math>x</math> перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, <math>\lg 0{,}0014</math> находится в интервале <math>(-3,-2)</math>.
Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на <math>n</math> разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на <math>n.</math> Например:
- <math>\lg 8314{,}63 = \lg 8{,}31463 + 3</math>
Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от <math>1</math> до <math>10</math>Шаблон:Sfn. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.
Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральнымШаблон:Sfn. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.
| Число | Логарифм | Характеристика | Мантисса | Запись |
|---|---|---|---|---|
| n | lg(n) | C | M = lg(n) − C | |
| 5 000 000 | 6.698 970... | 6 | 0.698 970... | 6.698 970... |
| 50 | 1.698 970... | 1 | 0.698 970... | 1.698 970... |
| 5 | 0.698 970... | 0 | 0.698 970... | 0.698 970... |
| 0.5 | −0.301 029... | −1 | 0.698 970... | Шаблон:Overline.698 970... |
| 0.000 005 | −5.301 029... | −6 | 0.698 970... | Шаблон:Overline.698 970... |
Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел <math>n</math> одна и та же мантисса <math>M</math>, поскольку:
- <math>\lg(n) = \lg\left(x \times10^C\right) = \lg(x) + \lg\left(10^C\right) = \lg(x) + C</math>,
где <math>1<x<10</math> — значащая часть числа <math>n</math>.
История
Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера)Шаблон:Sfn.
В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого[2]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов[3]:
- Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
- Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.
Литература
- Теория логарифмов
- История логарифмов
Ссылки
Примечания
