Русская Википедия:Диаграмма Венна
Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество <math>U</math> изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множестваШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выразимых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатовШаблон:Sfn, для :
- описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из нихШаблон:Sfn
- синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементовШаблон:Sfn,
- построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройствШаблон:Sfn,
- получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчисленийШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Диаграммы Венна при помощи <math>n</math> фигур изображают все <math>2^n</math> комбинаций <math>n</math> свойств, то есть конечную булеву алгебруШаблон:Sfn. При <math>n=3</math> диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.
Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат вероятностных диаграмм Шаблон:Sfn, понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторыШаблон:Sfn.
Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.
Связь диаграмм Эйлера и Венна
Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Венна изображают отношения между множествами: непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.
Диаграммы Венна основаны на существенно иной идее, чем круги ЭйлераШаблон:Sfn. Круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логикиШаблон:Sfn.
На рис. ниже даны диаграммы Эйлера и Венна для 3 множеств однозначных натуральных чисел:
- <math>A = \{1,\, 2,\, 5\}</math>
- <math>B = \{1,\, 6\}</math>
- <math>C = \{4,\, 7\}</math>
-
диаграмма Эйлера
-
диаграмма Венна
Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).
См. также
Примечания
Ссылки
- Шаблон:MathWorld
- Эпизод 412 Шаблон:Wayback сериала Numb3rs — изображение диаграмм Венна для <math>n=5,\;7,\;11</math>.
- Построение диаграмм Венна on-line Шаблон:Wayback для <math>n=3, 4, 5</math> и исходный код.
Литература
Шаблон:Логика Шаблон:Теория множеств
