Русская Википедия:Дилогарифм
Дилогари́фм — специальная функция в математике, которая обозначается <math>\mathrm{Li}_2(z)</math> и является частным случаем полилогарифма <math>\mathrm{Li}_n(z)</math> при <math>n=2</math>. Дилогарифм определяется как
- <math>\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z\frac{\ln(1-t)}{t}\,\mathrm{d}t = \sum_{j=1}^\infty \frac{z^j}{j^2}\;.</math>
Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной <math>z</math>. Для действительных значений <math>z=x</math> у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от <math>1</math> до <math>\infty</math>. Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:
- <math>\operatorname{Im}\left[\operatorname{Li}_2(x)\right] = \left\{ 0 \;\; (x\leq 1); \quad - \pi\ln{x} \;\; (x>1) \right\} </math>
Функцию <math>\operatorname{Li}_2(z)</math> часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера, который рассмотрел эту функцию в 1768 году[1]. Иногда дилогарифм называют функцией Спенса (Spence's function) или интегралом Спенса[2] в честь шотландского математика Уильяма Спенса (William Spence, 1777—1815)[3], который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие <math>-\mathrm{Li}_2(-z)</math> и <math>\mathrm{Li}_2(1-z)</math>. Название "дилогарифм" было введено Хиллом (C.J. Hill) в 1828 году.
Функциональные соотношения
Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,
- <math>\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(-z) = {\textstyle{\frac12}} \operatorname{Li}_2(z^2)</math>
- <math>\operatorname{Li}_2(1-z)+\operatorname{Li}_2\left(1-\frac{1}{z}\right)=- {\textstyle{\frac12}}\ln^2{z}</math>
- <math>\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1-z) = {\textstyle{\frac{1}{6}}} \pi^2 - \ln z \;\ln(1-z) </math>
- <math>\operatorname{Li}_2(-z)+\operatorname{Li}_2\left(\frac{z}{1+z}\right)= - {\textstyle{\frac12}} {\ln^2(1+z)}</math>
- <math>\operatorname{Li}_2(-z)-\operatorname{Li}_2(1-z)+ {\textstyle{\frac12}} \operatorname{Li}_2(1-z^2)=- {\textstyle{\frac{1}{12}}} \pi^2 - \ln z \ln(1+z)</math>
- <math>\operatorname{Li}_2(-z)+\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{z}\right)= - {\textstyle{\frac{1}{6}}} \pi^2 - {\textstyle{\frac12}}\ln^2{z}</math>
Для действительных <math>x>1</math>,
- <math>\operatorname{Li}_2(x)+\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{x}\right)= {\textstyle{\frac{1}{3}}} \pi^2 - {\textstyle{\frac12}}\ln^2{x} - {\rm i}\pi\ln{x}</math>
Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:
- <math>\operatorname{Li}_2(xy) = \operatorname{Li}_2(x) + \operatorname{Li}_2(y) - \operatorname{Li}_2\left(\frac{x(1-y)}{1-xy}\right) - \operatorname{Li}_2\left(\frac{y(1-x)}{1-xy}\right)-\ln\left(\frac{1-x}{1-xy}\right)\ln\left(\frac{1-y}{1-xy}\right)</math>
Частные значения
- <math>
\operatorname{Li}_2(0)=0 </math>
- <math>
\operatorname{Li}_2(1)= {\textstyle{\frac{1}{6}}} \pi^2 </math>
- <math>
\operatorname{Li}_2(-1) = - {\textstyle{\frac{1}{12}}} \pi^2 </math>
- <math>
\operatorname{Li}_2({\textstyle{\frac12}})={\textstyle{\frac{1}{12}}}\pi^2 - {\textstyle{\frac12}}\ln^2{2} </math> Используя соотношение между функциями от <math>x</math> и <math>1/x</math>, получаем
- <math>
\operatorname{Li}_2(2) = {\textstyle{\frac{1}{4}}} \pi^2 - {\rm i} \pi \ln{2} </math>
Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с золотым сечением <math> \phi = {\textstyle{\frac12}}(1+\sqrt{5}) </math>,
- <math>\operatorname{Li}_2(-\phi)=- {\textstyle{\frac{1}{10}}} \pi^2 - \ln^2{\phi}</math>
- <math>\operatorname{Li}_2(-\phi^{-1})=- {\textstyle{\frac{1}{15}}} \pi^2 + {\textstyle{\frac12}} \ln^2{\phi}</math>
- <math>\operatorname{Li}_2(\phi^{-1})= {\textstyle{\frac{1}{10}}} \pi^2 - \ln^2{\phi}</math>
- <math>\operatorname{Li}_2(\phi^{-2})= {\textstyle{\frac{1}{15}}} \pi^2 - \ln^2{\phi}</math>
а также для дилогарифма мнимого аргумента,
- <math>
\operatorname{Li}_2(\pm{\rm i}) = - {\textstyle{\frac{1}{48}}} \pi^2 \pm {\rm i} G </math> где <math>G</math> — постоянная Каталана.
Соотношения для частных значений
- <math>\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{3}}}\right)- {\textstyle{\frac{1}{6}}}\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)={\textstyle{\frac{1}{18}}}\pi^2- {\textstyle{\frac{1}{6}}}\ln^2{3}</math>
- <math>\operatorname{Li}_2\left(- {\textstyle{\frac{1}{2}}}\right)+{\textstyle{\frac{1}{6}}}\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)=- {\textstyle{\frac{1}{18}}}\pi^2+\ln{2}\;\ln{3}- {\textstyle{\frac{1}{2}}}\ln^2{2}- {\textstyle{\frac{1}{3}}}\ln^2{3} </math>
- <math>\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{4}}}\right)+{\textstyle{\frac{1}{3}}}\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)={\textstyle{\frac{1}{18}}}\pi^2+2\ln{2}\;\ln{3}-2\ln^2{2}- {\textstyle{\frac{2}{3}}}\ln^2{3}</math>
- <math>\operatorname{Li}_2\left(- {\textstyle{\frac{1}{3}}}\right)- {\textstyle{\frac{1}{3}}}\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)=- {\textstyle{\frac{1}{18}}}\pi^2+{\textstyle{\frac{1}{6}}}\ln^2{3}</math>
- <math>\operatorname{Li}_2\left(- {\textstyle{\frac{1}{8}}}\right)+\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)=- {\textstyle{\frac{1}{2}}}\ln^2\!\left({\textstyle{\frac{9}{8}}}\right)</math>
- <math>36\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{2}}}\right)-36\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{4}}}\right)-12\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{8}}}\right)+6\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{64}}}\right)={\pi}^2</math>
Функции, связанные с дилогарифмом
- Функция Клаузена <math>\operatorname{Cl}_2(\theta)</math>
- Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости,
- <math>\operatorname{Li}_2\left(e^{{\rm i}\theta}\right) = {\textstyle{\frac{1}{6}}}\pi^2 - {\textstyle{\frac{1}{4}}}\theta (2\pi-\theta) + {\rm i}\;\operatorname{Cl}_2(\theta), \quad (0\leq\theta\leq2\pi)</math>
- Таким образом,
- <math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=\operatorname{Im}\left[\operatorname{Li}_2\left(e^{{\rm i}\theta}\right)\right]
= {\textstyle{\frac{1}{2{\rm i}}}}\left[\operatorname{Li}_2\left(e^{{\rm i}\theta}\right)-\operatorname{Li}_2\left(e^{- {\rm i}\theta}\right)\right]</math>
- Функция Лобачевского
- Эта функция используется при вычислении объёмов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом),
- <math>L(\theta)=-\int_0^{\theta}{\rm d}\tau\; \ln|\cos\tau| = - {\textstyle{\frac{1}{2}}} \operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta) + \theta\ln{2} </math>
- Иногда используется другое определение функции Лобачевского,
- <math>\Lambda(\theta) = -\int_0^{\theta}{\rm d}\tau\; \ln|2\sin\tau| = {\textstyle{\frac{1}{2}}} \operatorname{Cl}_2(2\theta)</math>
- Интегральный арктангенс <math>\operatorname{Ti}_2(y)</math>
- Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента,
- <math>\operatorname{Li}_2({\rm i}y) = {\textstyle{\frac{1}{4}}}\operatorname{Li}_2(-y^2)+{\rm i}\;\operatorname{Ti}_2(y)</math>
- Таким образом,
- <math>\operatorname{Ti}_2(y)=\operatorname{Im}\left[\operatorname{Li}_2({\rm i}y)\right]
= {\textstyle{\frac{1}{2{\rm i}}}}\left[\operatorname{Li}_2({\rm i}y)-\operatorname{Li}_2(- {\rm i}y)\right]</math>
- Функция Лежандра <math>{\displaystyle{\chi_2(z)}}</math>
- Эта функция выражается через дилогарифмы как
- <math>\chi_2(z) = \sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{z^{2j+1}}{(2j+1)^2} = {\textstyle{\frac{1}{2}}} \left[ \operatorname{Li}_2(z)-\operatorname{Li}_2(-z) \right]</math>
- В частности, <math>\chi_2({\rm i}y)={\rm i}\operatorname{Ti}_2(y)</math>.
Примечания
Ссылки
- Шаблон:Книга Шаблон:MathSciNet
- Шаблон:Книга
- Don Zagier, The dilogarithm function (PDF)
- Шаблон:MathWorld
