Русская Википедия:Дискретная теорема Грина
Дискретная версия теоремы Грина описывает отношение между двойным интегралом функции для обобщенной прямоугольной области (область, которая образуется из конечного суммирования прямоугольников на плоскости) и линейной комбинации первообразной функции, заданной в углах области. В этом значении мы будем рассматривать популярную версию дискретной теоремы Грина.[1][2]
Теорема названа в честь британского математика Джорджа Грина, из-за сходства с его теоремой, теоремой Грина: обе теоремы описывают связь между интегрированием по кривой и интегрированием по области, ограниченной кривой. Теорема была впервые представлена как непрерывное продолжение алгоритма Ванга «Интегральное представление изображений», в 2007 году на Международной конференции по компьютерному видению ICCV [1], а затем вновь была опубликована профессором Doretto и его коллегами [3] в рецензируемом журнале в 2011 году.
Формулировка
Предположим что ƒ является интегрируемой функцией на плоскости R2, так что:
- <math>F\left(x,y\right)\equiv \int_0^y \int_0^x f\left(u,v\right) \, du \, dv </math>
является её первообразной функцией. Пусть <math>D \subset R^2 </math> — обобщенная прямоугольная область. Тогда представим теорему как:
- <math> \iint_D f\left(x,y\right) \, dx \, dy = \sum_{\vec{x}\in\nabla\cdot D} \alpha_D \left(\vec{x}\right)\cdot F\left(\vec{x}\right),</math>
где <math>\nabla\cdot D</math> — множество углов данной области D , <math>\alpha_D</math> является дискретным параметром с возможными значениями {0, ±1, ±2}, которые определяются в зависимости от типа угла, как показано на рисунке справа. Этот параметр является частным случаем стремления кривой [4], которая последовательно определяется при помощи одностороннего разрыва [5] кривой в углах заданной области.
Эта теорема является естественным продолжением алгоритма таблицы обобщённой области. Эта теорема расширяет алгоритм в том смысле, что область может быть непрерывной и она может быть сформирована из (конечного) числа прямоугольников, тогда как в алгоритме таблицы обобщённой области предполагается, что область является единым прямоугольником.
Дискретная теорема Грина также обобщает теорему Ньютона-Лейбница.
Идея доказательства
Для доказательства теоремы можно применить формулу из алгоритма "Интегрального представление изображений", которая включает в себя прямоугольники, образующие данную область:
Это изображение показывает, как + \ — коэффициенты первоначальной функции взаимно сокращаются в прямоугольниках, кроме точек расположенных в углах данной области.
Пример
Предположим что функция ƒ, задана на плоскости R2 , тогда F является её первообразной функцией. Пусть D — это область, окрашенная зелёным на следующем рисунке:
Файл:Discrete green illustration.png
Согласно теореме, примененимой к данной области, получается следующее выражение:
- <math> \iint_D f\left(x,y\right) \, dx \, dy = F\left(J\right)-2F\left(K\right)+F\left(L\right)-F\left(M\right)+F\left(N\right)-F\left(O\right)+F\left(P\right)+F\left(Q\right)-F\left(R\right).</math>
Приложения
Дискретная теорема Грина используется в компьютерных приложениях по обнаружению объектов на изображениях и их быстрого вычисления, а также в интересах эффективного расчета вероятностей.
Обобщения
В 2011 году были предложены два обобщения к теореме:
- Подход, предложенный профессором Фам и его коллегами: обобщение теоремы полигональных областей с помощью динамического программирования [6].
- Подход, предложенный математиком Шахар: обобщение теоремы на более широкий спектр областей при помощью оператора разрыва [5] и метода интегрирования наклонной линии [7] при помощи которых и была сформулирована дискретная теорема Грина [8].
Видео лекции
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Cite conference Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite conference Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite conference Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite conference Шаблон:Cite web
- ↑ 5,0 5,1 Шаблон:Cite conference
- ↑ Шаблон:Cite conference Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite conference Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite conferenceШаблон:Недоступная ссылка
