Длина́ криво́й (или, что то же, длина́ дуги́ криво́й) — числовая характеристика протяжённости этой кривой[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от Шаблон:Lang-lat, спрямление).
где <math>a \leqslant t \leqslant b</math>, все три функции непрерывны и нет кратных точек, то есть разным значениям <math>t</math> соответствуют разные точки кривой. Построим всевозможные разбиения параметрического интервала <math>[a,b]</math> на <math>m</math> отрезков: <math>a=t_0<t_1<\dots<t_m=b</math>. Соединение точек кривой <math>\gamma(t_0), \dots, \gamma(t_m)</math> отрезками прямых даёт ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаныхШаблон:Sfn.
Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая. Снежинка Коха — классический пример ограниченной, но неспрямляемой кривой; более того, любая, сколь угодно малая её дуга неспрямляемаШаблон:Sfn.
Параметризация кривой длиной её дуги называется естественной.
Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции, определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).
где <math>g_{ij}</math> — метрический тензор.
Пример: кривая на поверхности в <math>\mathbb{R}^3</math>.
Общее метрическое пространство
В более общем случае произвольного метрического пространства <math>(X,\rho)</math> длиной <math>S</math> кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой <math>\gamma:[a,b]\to X</math> определяется согласно формуле:
