Русская Википедия:Дробь (математика)
| <math>8~/~13</math> | <math>\frac{8}{13}</math> | числитель | |
| числитель | знаменатель | знаменатель | |
| Две записи одной дроби | |||
Дробь в арифметике — число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицыШаблон:Sfn.
В математике используется несколько обобщённое определение, различающее два типа дробей.
- Обыкновенные дробиШаблон:Переход вида <math> \frac{m}{n}</math>, где <math>m</math> целое, <math>n</math> натуральное. В отличие от арифметического определения, такая дробь может иметь знак минус.
- Запись (не обязательно дробных) чисел в позиционных системах счисления. Наиболее известны десятичные дробиШаблон:Переход, удобные для людей, и двоичные дроби, которые используются для расчётов на компьютерах[1].
В математической записи дроби вида <math>m/n</math> или <math>\frac{m}{n}</math> число перед (над) чертой называется числителем, а число после черты (под чертой) — знаменателем. Первый выступает в роли делимого, второй — делителя.
В общей алгебре обыкновенные дроби образуют поле рациональных чисел.
Виды дробей
Обыкновенные дроби
Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде <math> \frac{m}{n}</math> или <math>m/n,</math> где <math>n \ne 0.</math> Горизонтальная [называется винкулум] или косая [солидус] черта обозначает знак деления, в результате которого получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.
Обозначения обыкновенных дробей
Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
- ½,
- 1/2 (такая наклонная черта называется «слеш»),
- <math>^1\!/_2</math> (такая наклонная черта называется «солидус»Шаблон:Sfn),
- выключная формула: <math>\frac{1}{2}</math>,
- строчная формула: <math>\tfrac{1}{2}</math>.
Правильные и неправильные дроби
Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется неправильной и представляет собой рациональное число, по модулю большее или равное единице.
Например, дроби <math>\frac{3}{5}</math>, <math>\frac{7}{8}</math> и <math>\frac{1}{2}</math> — правильные, в то время как <math>\frac{8}{3}</math>, <math>\frac{9}{5}</math>, <math>\frac{2}{1}</math> и <math>\frac{1}{1}</math> — неправильные. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем <math>1</math>.
Смешанные дроби
Дробь, записанная в виде неотрицательного целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби (с добавлением спереди знака «минус» для отрицательных чисел). В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.
Например, <math>2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}</math>.
Составные дроби
Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:
- <math>\frac{1}{2}\bigg/\frac{1}{3}</math> или <math>\frac{1/2}{1/3}</math> или <math>\frac{12\frac{3}{4}}{26}</math>.
Вообще говоря, знак дроби в таком обобщённом смысле применяется не только для дробей, но и для компактного обозначения деления, причём даже не только целых чисел, но и любых действительных и комплексных чисел, функций, многочленов и тому подобных операндов различных операций деления.
Десятичные дроби
Шаблон:Main Десятичной дробью называют позиционную запись дроби, в которой знаменатель не дан в явном виде, но понимается как целое число, степень десяти (напр. 100, 1000 и др). Она выглядит следующим образом (знак <math>+</math> вне арифметических выражений обычно опускается):
- <math>\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2\dots</math>
Часть записи, которая стоит до запятой, в случае неотрицательной дроби является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.
Пример: десятичная дробь <math>3{,}1415926</math> в формате обыкновенной дроби равна <math>\frac{31415926}{10000000}</math>.
Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд. Например, 1/3 = 0,333… представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …
Десятичные дроби также могут быть выражены в экспоненциальном представлении с отрицательными показателями, например запись 6,023 × 10−7, означает 0,0000006023 (умножение на <math>10^{-7}</math>, или, что то же, деление на <math>10^7,</math> перемещает знак запятой на 7 разрядов влево).
Другой вид дроби представляет собой процент (Шаблон:Lang-la — «на сто»), представленный символом %, в которой подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51 % означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311 % равняется 311/100, а −27 % равняется −27/100.
Схожее понятие промилле или частей на тысячу подразумевает знаменатель 1000. Распространенным обозначением частей на миллион является (Шаблон:Lang-en — ppm), Например 75 ppm, означает, что пропорция составляет 75 / 1000000.
| Международное обозначение | Русское | Система СИ |
|---|---|---|
| ppm | млн−1; 1:106 | микро (мк) |
| ppb | млрд−1; 1:109 | нано (н) |
| ppt | трлн−1; 1:1012 | пико (п) |
| ppquad | квадрлн−1; 1:1015 | фемто (ф) |
Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).
Значение дроби и основное свойство дроби
Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:
- <math>\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}</math>
то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:
- <math>\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}</math>
И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:
- <math>\frac {12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}</math> — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель <math>4</math>.
Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме <math>\pm 1.</math>
Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, кроме случаев окончания записи бесконечной последовательностью либо только нулей (которые можно опустить), либо только девяток. Например:
- <math>0, \! 999...=1</math> — две разные записи дроби соответствуют одному числу;
- <math>2, \! 13999...=2,\!14</math>.
Действия с дробями
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.
Приведение к общему знаменателю
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: <math>\frac{a}{b}</math> и <math>\frac{c}{d}</math>. Порядок действий:
- Находим наименьшее общее кратное знаменателей: <math>M=[b,d]</math>.
- Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на <math>M/b</math>.
- Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на <math>M/d</math>.
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны <math>M</math>). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве <math>M</math> любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
Сравнение
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
Пример. Сравниваем <math>\frac{3}{4}</math> и <math>\frac{4}{5}</math>. <math>\mathrm{HOK}(4, 5) = 20</math>. Приводим дроби к знаменателю <math>20</math>.
- <math>\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}</math>
Следовательно, <math>\frac{3}{4} < \frac{4}{5}</math>
Сложение и вычитание
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:
- Пример 1: <math>\quad \frac{1}{2}</math> + <math>\frac{1}{3}</math> = <math>\frac{3}{6}</math> + <math>\frac{2}{6}</math> = <math>\frac{5}{6}</math>
НОК знаменателей (здесь <math>2</math> и <math>3</math>) равно <math>6</math>.
Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю <math>6</math>, для этого числитель и знаменатель надо умножить на <math>3</math>.
Получилось <math>\frac{3}{6}</math>.
Приводим дробь <math>\frac{1}{3}</math> к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на <math>2</math>. Получилось <math>\frac{2}{6}</math>.
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:
- <math>\frac{1}{2}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{2}{4}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}</math>
НОК знаменателей (здесь <math>2</math> и <math>4</math>) равно <math>4</math>. Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю <math>4</math>, для этого надо числитель и знаменатель умножить на <math>2</math>. Получаем <math>\frac{2}{4}</math>.
- Пример 2: <math>\quad \frac{3}{5} + \frac{2}{7} = \frac{3\cdot 7}{5\cdot 7} + \frac{2\cdot 5}{7\cdot 5} = \frac{21}{35} + \frac{10}{35} = \frac{31}{35}</math>
Умножение и деление
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
- <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math>
В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:
- <math>\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2</math>
В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:
- <math>\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}.</math>
Определим обратную дробь для дроби <math>\frac{a}{b}</math> как дробь <math>\frac{b}{a}</math> (здесь <math>a,b\ne 0</math>). Тогда, согласно определению умножения, произведение дроби на обратную к ней равно 1:
- <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{ab}{ab} = 1</math>
Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:
- <math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc},\quad b,c,d \ne 0.</math>
Например:
- <math>\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}.</math>
Возведение в степень и извлечение корня
Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести её числитель и знаменатель в эту же степень:
- <math>\left(\frac{a}{b}\right) ^ n = \frac{a^n}{b^n}, b \neq 0.</math>
Пример:
- <math>\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}</math>
Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь соответствующий корень из числителя и знаменателя:
- <math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \neq 0 .</math>
Пример:
- <math>\sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}}= \frac{4}{5}.</math>
Преобразование между разными форматами записи
Шаблон:Основная статья Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:
- <math>\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5</math>
- <math>\frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857)</math> — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.
Чтобы преобразовать десятичную дробь с конечным числом десятичных знаков в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
- <math>71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000} = 71 \frac{59}{400}</math>
Бесконечная десятичная дробь, вообще говоря, не может быть точно представлена как обыкновенная. Исключением являются периодические десятичные дроби, для которых такое представление всегда возможноШаблон:Sfn.
Пример (см. также Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную). Преобразуем периодическую дробь <math>1{,}3(142857) = 1{,}3\ 142857\ 142857\ 142857\dots</math> в обыкновенную дробь. <math>1{,}3(142857) = 1{,}3 + 0{,}1 \cdot 0{,}(142857).</math> Обозначим <math>x=0{,}(142857)</math>, тогда <math>1000000\cdot x =142857 + x,</math> откуда: <math>999999 x =142857,</math> или: <math>x = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}.</math> В итоге получаем: <math>1{,}3(142857) = 1{,}3 + 0{,}1 x = 1{,}3 + 0{,}1\cdot\frac{1}{7}. = \frac {13}{10} +\frac {1}{70} = \frac {92}{70} = 1\frac{11}{35}.</math>
История и этимология термина
Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от Шаблон:Lang-lat, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввёл в оборот греческий математик Максим Плануд.
Дроби вычислялись ещё в Древнем Египте. До наших дней сохранились математические источники о египетских дробях: Математический папирус Ринда (ок. 1650 год до н. э.)Шаблон:Sfn, Египетский математический кожаный свиток (XVII век до н. э.)Шаблон:Sfn, Московский математический папирус (ок. 1850 год до н. э.), en (Akhmim wooden tablets) (ок. 1950 год до н. э.)Шаблон:Sfn.
В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде «Математика в девяти книгах» (X—II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан Цаном . Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционнуюШаблон:Sfn. Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на пять веков раньшеШаблон:Sfn.
Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из Древней Индии — вначале его позаимствовали арабы, а затем, в XII-XVI веках, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа <math>\tfrac{1}{4}, 2\tfrac{1}{5}</math> записывались таким способом: <math>\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix} 2 \\ \mathrm{I} \\ 5 \end{smallmatrix}.</math> Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — Фибоначчи (Леонардо Пизанский)Шаблон:Sfn. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).
В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как <math>\overset{\undersetШаблон:0{}}{4}2~\overset{\undersetШаблон:1{}}{5}~\overset{\undersetШаблон:2{}}{3}</math> или 42 ⓪ 5 ① 3 ②, где 0 в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с XVII векаШаблон:Sfn.
На Руси дроби называли долями. В первых российских учебниках математики — в XVII веке — дроби назывались ломаными числамиШаблон:Sfn. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.
Обобщения
- Кольцо частных
- Рациональная функция — дробь, составленная из многочленов.
См. также
Примечания
Литература
На русском:
На английском:
Ссылки
