Русская Википедия:Задача Потенота
Шаблон:TOCright Задача Потенота (обратная геодезическая засечка) — одна из классических математических задач определения местоположения точки на местности по трём ориентирам с известными координатами; возникает, например, при определении местоположения корабля в море по трём маякам, расстояние до которых неизвестно. Имеет более 100 аналитических и графических способов решения и является частным случаем и обобщением задач трилатерации и триангуляции. Приобрела важное практическое значение в самых разных областях (геодезии, навигации, корректировке ракетно-артиллерийского огня[1]) и не потеряла актуальности по настоящее время.
Формулировка задачи Потенота
Найти точку плоскости, из которой стороны данного (плоского) треугольника видны под заданными углами.
Замечание. Если все эти углы равны между собой и равны 120 градусам, то искомая точка есть Точка Торричелли.
История
Впервые решить задачу аналитически удалось голландскому математику Снеллиусу в 1616 году. Однако в 1692 году французский математик Л. Потенот (1660—1732) предложил более удачное решение этой задачи, которая впоследствии получила его имя[2]. В разное время ею занимались картографы И. Г. Леман (1765—1811), А. П. Болотов (1803—1853), А. Д. Моторный (1891—1964) и др.
Порядок решение задачи способом Деламбра
1. Вычисляют дирекционный угол направления с исходного пункта 1 на определяемую точку "0" по формуле:[3]
<math> \mathrm{tg} \alpha _{1-0} = \frac{\Delta Y_{2-1} * {\operatorname{ctg}\beta_1} + \Delta Y_{1-3} * {\operatorname{ctg}\beta_2} - x_2 + x_3}{\Delta X_{2-1} * {\operatorname{ctg}\beta_1} + \Delta X_{1-3} * {\operatorname{ctg}\beta_2} + y_2 - y_3} </math>.
2. Определяют дирекционные углы направлений с других исходных пунктов - 2, 3, 4.
<math> \mathrm{tg} \alpha _{2-0} = a_{1-0} + \beta_1</math>
<math> \mathrm{tg} \alpha _{3-0} = a_{1-0} + \beta_2</math>
<math> \mathrm{tg} \alpha _{4-0} = a_{1-0} + \beta_3</math>
3. Используя формулы тангенсов или котангенсов дирекционных углов направлений с исходных пунктов на определяемую точку Р, вычисляют координаты точки Р в двух комбинациях. Вторая комбинация является не зависимой и контрольной.
I комбинация
<math> \mathrm{x}_{0} = \frac{x_{1} * {\operatorname{tg}\alpha_{1-0}} - x_{2} * {\operatorname{tg}\alpha_{2-0}} - y_1 + y_2}{\operatorname{tg}\alpha_{1-0} - \operatorname{tg}\alpha_{2-0}} </math>.
<math> \mathrm{y'}_{0} = {y_{1} + \Delta X_{1-0} * {\operatorname{tg}\alpha_{1-0}}}</math>.
<math> \mathrm{y}_{0} = {y_{2} + \Delta X_{2-0} * {\operatorname{tg}\alpha_{2-0}}}</math>.
II комбинация
<math> \mathrm{x}_{0} = \frac{x_{3} * {\operatorname{tg}\alpha_{3-0}} - x_{4} * {\operatorname{tg}\alpha_{4-0}} - y_3 + y_4}{\operatorname{tg}\alpha_{3-0} - \operatorname{tg}\alpha_{4-0}} </math>.
<math> \mathrm{y'}_{0} = {y_{3} + \Delta X_{3-0} * {\operatorname{tg}\alpha_{3-0}}}</math>.
<math> \mathrm{y}_{0} = {y_{4} + \Delta X_{4-0} * {\operatorname{tg}\alpha_{4-0}}}</math>.
Примечания
Дополнительная литература
- Моторный A. Д. Задача Потенота (аналитическое решение) / / Научные записки ЛПИ, серия геодезическая № 1. — 1949. — Вып. XV. — С. 165—171.
- Шаблон:Книга
Ссылки
