Русская Википедия:Задача о марьяже

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Задача о марьяже или задача о стабильных браках[1] — математическая задача из области кооперативных игр. Требуется найти стабильные соответствия между элементами двух множеств, имеющих свои предпочтения. В более простой формулировке: составить брачные пары из женихов и невест таким образом, чтобы мужа из одной семьи и жену из другой не тянуло друг к другу сильнее, чем к своим законным супругам[2]. Решение задачи отмечено Нобелевской премией по экономике 2012 года.

Решение задачи было описано в 1962 году математиками Дэвидом Гэйлом и Ллойдом Шепли[3]. Набор правил, следование которым всегда приводит к образованию стабильных пар, получил название алгоритма Гэйла — Шепли или «алгоритма отложенного согласия».

Множество практических механизмов на основе алгоритма Гэйла — Шепли разработал нобелевский лауреат Элвин Рот. Эти механизмы были внедрены в деятельность больниц по набору врачей[4] и интернов[5], в правила многих американских профессиональных спортивных ассоциаций по набору спортсменов в команды[6]. В соответствии с предложенными институциональными механизмами фирмы набирают на стажировку сотрудников[7], суды нанимают секретарей[8], родители находят подходящие школы для детей[9]. Модель марьяжа в целом описывает последовательность действий индивидов при формировании пар на «рынках попутчиков» для совместных поездок, в некоторых видах спорта (парное фигурное катание, спортивные танцы), поведение участников в интерактивных реалити-шоу и пр.[10]

Формулировка

Задачу можно сформулировать следующим образом:

Шаблон:Начало цитатыПусть даны два множества M и Ж, причём для каждого элемента из М элементы из Ж отсортированы в некотором порядке. То есть мы можем говорить, какие элементы Ж для данного элемента m из М являются более предпочтительными, а какие менее. Сортировки, конечно же, для каждого элемента могут быть свои. Аналогичные предпочтения введены и для элементов из Ж. Суть задачи сводится к разбиению M и Ж на пары. В каждую пару берется по одному элементу из M и из Ж. При этом в результате мы должны получить не просто разбиение, а так называемое стабильное разбиение. Стабильность — общее понятие для теории игры, которое в данном конкретном случае означает, что отсутствуют пары (m, ж) и (m', ж'), обладающие таким свойством: для m элемент ж' является предпочтительнее ж, а для ж' элемент m является предпочтительнее m'.Шаблон:Конец цитаты

Решение

Существует конструктивный метод нахождения одного из решений задачи.

  • мужчины делают предложение наиболее предпочитаемой женщине;
  • каждая женщина из всех поступивших предложений выбирает наилучшее и отвечает на него «может быть», на все остальные отвечает «нет»;
  • мужчины, получившие отказ, обращаются к следующей женщине из своего списка предпочтений, мужчины, получившие ответ «может быть», ничего не делают;
  • если женщине пришло предложение лучше предыдущего, то она прежнему претенденту (которому ранее сказала «может быть») говорит «нет», а новому претенденту говорит «может быть»;
  • если женщине пришло наилучшее предложение, то она прежнему претенденту (которому ранее сказала «может быть») говорит «нет», а новому претенденту говорит «да» и далее предложений не принимает;
  • шаги повторяются, пока у всех мужчин не исчерпается список предложений, в этот момент женщины отвечают «да» на те предложения «может быть», которые у них есть в настоящий момент.

Максимальное количество шагов для реализации алгоритма: <math>O(n^2)</math> шагов, где <math>n</math> — число мужчин и женщин[11].

Свойства решения

В результате невозможно завести новый брак — если у мужчины А в списке есть женщина Б и наоборот, хотя бы один женится. Соответственно, если списки полные, женятся все мужчины или выходят замуж все женщины.

Аналогично женщины могут ходить по мужчинам. Совпадают ли получившиеся браки? Не обязательно, и контрпример прост. Пусть есть два мужчины и две женщины. Андрей предпочитает Веру, Борис — Галю. Женщины наоборот — Вера Бориса, Галя Андрея (но и на другом жениться или выйти замуж за другого все четверо не прочь). Если мужчины ходят по женщинам — Андрей женится на Вере, Борис на Гале. Если женщины по мужчинам — Андрей на Гале, Борис на Вере.

При этом, если мужчины делают предложения женщинам, мужчины получат самый лучший для себя результат из всех устойчивых паросочетаний: не существует устойчивого паросочетания, чтобы все мужчины оказались в том же или лучшем положении. Мало того, алгоритм слабо стоек к мужским коалициям: несколько мужчин не могут скоординированно изменить списки предпочтения, чтобы путём эксплуатации этого алгоритма строго улучшить результат всем членам коалиции[12]. Улучшить хотя бы одному и не ухудшить остальным коалиция иногда способна[13].

Для женщин результат, наоборот, будет наихудшим: не существует устойчивого паросочетания, чтобы все женщины оказались в том же или худшем положении. Алгоритм не стоек к женским коалициям: если в предыдущем примере Вера откажется от Андрея, а Галя от Бориса, женщины найдут себе оптимальную пару.

Подобные задачи

  • обобщение на неравное число партнёров;
  • задача о выборе учебного заведения (в одно заведение может поступить несколько студентов);
  • задача о соседях по комнате — вместо двух множеств (мужчин и женщин) имеется только одно множество;
  • когда среди врачей возникают браки, и супругам хочется работать в одной больнице.

Реализация в программировании

Пример на языке Си: 

#include"conio.h"
#include"stdio.h"

int make_offer(int);

const int n = 5 + 1; // dlya matritsy 5x5

int mass_index[n];  //massiv tekuschego indeksa muzhchin
int mass_offer[n];  // massiv tekuschih predlozheniy zhenschin
int massA[n][n],massB[n][n];
int global_i;

void main(){
	int i,j,offer,count,count_0=0;

	for (i=1;i<n;i++){mass_index[i] = 1; mass_offer[i] = -1;};

	FILE *f;

	f = fopen("input.txt","r");
	for (i=1; i<n; i++)
		for (j=1; j<n; j++)
			fscanf(f,"%d", &massA[i][j]);
	
	for (i=1; i<n; i++)
		for (j=1; j<n; j++)
			fscanf(f,"%d", &massB[i][j]);
	fclose(f);

	global_i = 1;
	
	int x;
	while (count_0 != n-1){
		x = make_offer(global_i);
		if (x == 0){
			count_0++;
			global_i = count_0 + 1;
		}
		else global_i = x;  
	}

	for (i=1; i<n; i++)
		printf("%d - %d \n", i, mass_offer[i] );

	getch();
}

int make_offer(int count){
		int offer, i;
		
		offer = massA[count][mass_index[count]];
		if (mass_offer[offer] == -1){
			mass_offer[offer] = count;
			return 0;
		}
		else{
			for (i=1; i<n; i++){
				if ((massB[offer][i] == mass_offer[offer]) | (massB[offer][i] == count))
					if (massB[offer][i] == mass_offer[offer]){ 
						mass_index[count]++;
						return count; 
					}
					else{ 
						int x = mass_offer[offer];
						mass_index[mass_offer[offer]]++;
						mass_offer[offer] = count;
						return x; 

					}
			}
		}
}

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Публикация
  2. ↑ Андрей Коняев. Давай поженимся. Нобелевскую премию по экономике дали за стабильность выбора Шаблон:Wayback // Lenta.ru 15.10.2012, 21:12:16
  3. ↑ D. Gale and L. S. Shapley: «College Admissions and the Stability of Marriage», American Mathematical Monthly 69, 9-14, 1962.
  4. ↑ Шаблон:Статья
  5. ↑ Шаблон:Статья
  6. ↑ Шаблон:Статья
  7. ↑ Шаблон:Статья
  8. ↑ Шаблон:Статья
  9. ↑ Шаблон:Статья
  10. ↑ Шаблон:Статья
  11. ↑ Шаблон:Cite journal
  12. ↑ Шаблон:Cite journal
  13. ↑ Шаблон:Cite conference
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Задача_о_марьяже&oldid=9894422