Русская Википедия:Задача о стопке кирпичей
Задача о стопке кирпичей, также известна как проблема укладки блоков (Шаблон:Lang-en), наклонная башня лир (Шаблон:Lang-en), задача о складывании книг и т. д. — задача статики, заключающаяся в укладке прямоугольных блоков в башню, как можно дальше выдающуюся в сторону.
Формулировка
Проблема формулируется так: Шаблон:Начало цитаты Поставить друг на друга <math>N</math> одинаковых твёрдых прямоугольных параллелепипедов, собрав устойчивую башню на краю стола таким образом, чтобы выступ за край был максимален. Шаблон:Конец цитаты
История
Задача о стопке кирпичей имеет долгую историю как в механике, так и в математике. В своих статьях Шаблон:Нп2 и его соавторы приводятШаблон:Sfn длинный список ссылок на эту проблему, о которой говорится в работах по механике, относящихся к середине девятнадцатого века.
Решения
С только одним блоком на каждом уровне
В идеальном случае с только одним идеально прямоугольным блоком на каждом уровне свес равен <math>\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2i}</math> ширины блока[1]. Эта сумма составляет половину частичной суммы гармонического ряда. Поскольку гармонический ряд расходится, максимальный свес стремится к бесконечности с ростом <math>N</math>, т.е. можно достичь любого сколь угодно большого свеса при достаточном количестве блоков. В каждом конкретном случае максимальный свес приблизительно равен <math>\frac12\ln N</math>, т.е. пропорционален натуральному логарифму числа блоков.
| N | Максимальный свес | |||
|---|---|---|---|---|
| дробь | десятичная запись |
относительный размер | ||
| 1 | 1 | /2 | Шаблон:Bartable | |
| 2 | 3 | /4 | Шаблон:Bartable | |
| 3 | 11 | /12 | ~Шаблон:Bartable | |
| 4 | 25 | /24 | ~Шаблон:Bartable | |
| 5 | 137 | /120 | ~Шаблон:Bartable | |
| 6 | 49 | /40 | Шаблон:Bartable | |
| 7 | 363 | /280 | ~Шаблон:Bartable | |
| 8 | 761 | /560 | ~Шаблон:Bartable | |
| 9 | 7 129 | /5 040 | ~Шаблон:Bartable | |
| 10 | 7 381 | /5 040 | ~Шаблон:Bartable | |
| N | Максимальный свес | |||
|---|---|---|---|---|
| дробь | десятичная запись |
относительный размер | ||
| 11 | 83 711 | /55 440 | ~Шаблон:Bartable | |
| 12 | 86 021 | /55 440 | ~Шаблон:Bartable | |
| 13 | 1 145 993 | /720 720 | ~Шаблон:Bartable | |
| 14 | 1 171 733 | /720 720 | ~Шаблон:Bartable | |
| 15 | 1 195 757 | /720 720 | ~Шаблон:Bartable | |
| 16 | 2 436 559 | /1 441 440 | ~Шаблон:Bartable | |
| 17 | 42 142 223 | /24 504 480 | ~Шаблон:Bartable | |
| 18 | 14 274 301 | /8 168 160 | ~Шаблон:Bartable | |
| 19 | 275 295 799 | /155 195 040 | ~Шаблон:Bartable | |
| 20 | 55 835 135 | /31 039 008 | ~Шаблон:Bartable | |
| N | Максимальный свес | |||
|---|---|---|---|---|
| дробь | десятичная запись |
относительный размер | ||
| 21 | 18 858 053 | /10 346 336 | ~Шаблон:Bartable | |
| 22 | 19 093 197 | /10 346 336 | ~Шаблон:Bartable | |
| 23 | 444 316 699 | /237 965 728 | ~Шаблон:Bartable | |
| 24 | 1 347 822 955 | /713 897 184 | ~Шаблон:Bartable | |
| 25 | 34 052 522 467 | /17 847 429 600 | ~Шаблон:Bartable | |
| 26 | 34 395 742 267 | /17 847 429 600 | ~Шаблон:Bartable | |
| 27 | 312 536 252 003 | /160 626 866 400 | ~Шаблон:Bartable | |
| 28 | 315 404 588 903 | /160 626 866 400 | ~Шаблон:Bartable | |
| 29 | 9 227 046 511 387 | /4 658 179 125 600 | ~Шаблон:Bartable | |
| 30 | 9 304 682 830 147 | /4 658 179 125 600 | ~Шаблон:Bartable | |
С несколькими блоками на любом из уровней
Дополнительные блоки на уровне могут использоваться как противовес и давать бо́льшие свесы, чем вариант с одним блоком на уровне. Даже для трех блоков укладка двух уравновешенных блоков поверх другого блока может дать свес в один блок, в то время как в простом идеальном случае — не более <math>\frac{11}{12}</math>. В 2007 году Майк Патерсон с соавторами показали[2], что максимальный свес, который может быть достигнут с помощью нескольких блоков на уровне, асимптотически равен <math>c\sqrt[3]N</math>, то есть пропорционален кубическому корню из числа блоков, в отличие от простого случая, когда свес пропорционален логарифму количества блоков.
См. также
Примечания
Ссылки
