Русская Википедия:Задача плоской деформации

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Задача плоской деформации — ряд задач, рассматриваемых в теории упругости и теории пластичности. В ней рассматриваются вопросы, отличающиеся по содержанию, но объединенные математическим методом решения.

В задаче о плоской деформации рассматривается частное решение уравнений теории упругости, в котором перемещения <math>u,v</math> предполагаются не зависящими от координаты <math>x_3=z</math>, тогда как <math>w</math> не зависит от <math>x,y</math>, а его зависимость от <math>z</math> может быть линейной:

<math>u=u(x,y),\quad v=v(x,y),\quad w=ez+w_0 \qquad (1)</math>

Очевидным следствием этих предположений является отсутствие напряжений <math>\tau_{zx},\tau_{yz}</math>:

<math>\tau_{zx}=\mu \left( \frac{\partial u}{\partial z}+ \frac{\partial w}{\partial x} \right)=0,\quad \tau_{yz}=\mu \left( \frac{\partial v}{\partial z}+ \frac{\partial w}{\partial y} \right)=0</math>

и независимость от z остающихся компонент <math>\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}, \sigma_z</math> тензора напряжений.

Плоская деформация реализуется, например, в призматическом теле, теоретически бесконечной длины, нагруженном поверхностными и объемными силами, перпендикулярными оси z. Тогда все поперечные сечения тела находятся в одинаковых условиях, чем оправдывается задание перемещений в форме (1). Это позволяет вместо рассмотрения всей области, занятой телом, ограничиться рассмотрением его элемента, выделенного двумя поперечными сечениями, расстояние между которыми равно единице. Главный вектор и главный момент относительно оси <math>x_3</math> внешних сил, приложенных к элементу, по условию должны обращаться в нуль. Исходя из равенств (1) и закона Гука, можно получить значения компонент тензора деформаций.