Русская Википедия:Законы Кеплера

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, установленные Иоганном Кеплером на основе длительных астрономических наблюдений Тихо Браге^[1]. Изложены Кеплером в работах, опубликованных между 1609^[2] и 1619^[3] годами. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты.

Соотношения Кеплера позволили Ньютону постулировать закон всемирного тяготения, который стал фундаментальным в классической механике. В её рамках законы Кеплера являются решением задачи двух тел в случае пренебрежимо малой массы планеты, то есть в предельном переходе <math>m_p/m_s \rightarrow 0</math>, где <math>m_p</math>, <math>m_s</math> — массы планеты и звезды соответственно.

Формулировки

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Файл:Kepler's law 1 ru.svg

Первый закон Кеплера

Каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением <math>e=\frac{c}{a}</math>, где <math>c</math> — расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние), <math>{a}</math> — большая полуось. Величина <math>e</math> называется эксцентриситетом эллипса. При <math>c=0</math>, и, следовательно, <math>e=0,</math> эллипс превращается в окружность.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Файл:Kepler's law 2 ru.svg

Второй закон Кеплера

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает также, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.

<math>\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}</math>,

Файл:Третий закон Кеплера.jpg

Третий закон Кеплера

где <math>T_1</math> и <math>T_2</math> — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а <math>a_1</math> и <math>a_2</math> — длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:

<math>\frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}</math>,

где <math>M</math> — масса Солнца, а <math>m_1</math> и <math>m_2</math> — массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Вывод законов Кеплера из законов классической механики

Вывод Первого закона Кеплера

Рассмотрим движение в полярных координатах <math>(r,\theta)</math>, центр которых совпадает с центром масс системы (приближенно, совпадает с Солнцем).

Пусть <math>\mathbf r </math> — радиус-вектор к планете, за <math>\hat\mathbf r = \mathbf r/r</math> обозначим единичный вектор, указывающий его направление. Аналогично введём <math>\hat\boldsymbol\theta</math> — единичный вектор, перпендикулярный <math>\mathbf r</math>, направленный в сторону увеличения полярного угла <math>\theta</math>. Запишем производные по времени, обозначая их точками:

<math>\dot\mathbf r=\dot r\hat\mathbf r + r\dot\theta\hat\boldsymbol\theta</math>

<math>\ddot\mathbf r = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta}</math>

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». То есть ускорение имеет вид:

<math> \mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}.</math>

Или в координатной форме:

<math>\begin{cases}

\ddot r - r\dot\theta^2 = f(r),\\ r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = 0; \end{cases}</math>

Во втором уравнении распишем <math>\ddot\theta</math> и <math>\dot r</math>:

<math>r { d \dot\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0,</math>

Избавляясь от времени и разделяя переменные, получим:

<math>\frac{d\dot\theta}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}.</math>

Интегрирование которого даст:

<math>\ln\dot\theta = -2\ln r + C,</math>

Полагая <math>C = \ln\ell</math> и упрощая логарифмы имеем окончательно

<math>r^2\dot\theta = \ell</math>

Константа <math>\ell</math> по смыслу является удельным угловым моментом (<math>\ell=\mathbf{r}\times \mathbf{v}</math>). Мы показали, что в в поле центральных сил он сохраняется.

Для работы с первым уравнением удобно произвести замену:

И переписать производные, попутно избавляясь от времени

<math>\dot r = -\frac{1}{u^2}\dot u =-\frac{1}{u^2}\frac{du}{dt}= -\frac{1}{u^2}\frac{d\theta}{dt}\frac{du}{d\theta}= -\ell\frac{du}{d\theta},</math>

<math>\ddot r = -\ell\frac{d}{dt}\frac{du}{d\theta} =-\ell\frac{d^2u}{dt\,d\theta}\cdot\frac{d\theta}{d\theta} =-\ell\dot\theta\frac{d^2u}{d\theta^2}= -\ell^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}.</math>

Уравнение движения в направлении <math>\hat{\mathbf{r}}</math> тогда запишется:

<math>\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right).</math>

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

<math> f \left( {1 \over u} \right) = f(r)= - \, { GM \over r^2 } = - GM u^2 </math>

где <math>G</math> — универсальная гравитационная константа и <math>M</math> — масса звезды.

В результате:

<math>\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.</math>

Это дифференциальное уравнение можно переписать в полных производных:

<math>\frac{d}{du}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2+\frac{1}{2}u^2\right)=\frac{d}{du}\left(\frac{GM}{\ell^2}u\right)</math>

Избавляясь от которых получим:

<math>\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2+u^2-\frac{2GM}{\ell^2}u=C</math>

И окончательно:

<math>\frac{du}{d\theta}=\pm\sqrt{C+\frac{2GM}{\ell^2}u-u^2}</math>

Разделив переменные и произведя элементарное интегрирование получим общее решение:

<math>u = \frac{GM}{\ell^2} \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .</math>

для констант интегрирования <math>e</math> и <math>\theta_0</math>, зависящих от начальных условий.

Заменяя <math>u</math> на 1/<math>r</math> и вводя <math>p=\frac{\ell^2}{GM}</math>, имеем окончательно:

<math>p = r\,( 1+ e\cos(\theta-\theta_0)) </math>

Мы получили уравнение конического сечения с параметром <math>p</math> и эксцентриситетом <math>e</math> и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Вывод Второго закона Кеплера

По определению момент импульса <math>\mathbf{L}</math> точечного тела с массой <math>m</math> и скоростью <math>\mathbf{v}</math> записывается в виде:

<math>\mathbf{L} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times ( m \mathbf{v} )</math>.

где <math>\mathbf{r}</math> — радиус-вектор тела, а <math>\mathbf{p} = m \mathbf{v} </math> — его импульс. Площадь, заметаемая радиус-вектором <math>\mathbf{r}</math> за время <math>dt</math> из геометрических соображений равна

<math>dS=\frac{1}{2}r\sin\phi v dt=\frac{1}{2}|\mathbf{r}\times\mathbf{v}| dt=\frac{\mathbf{|L|}}{2m}dt = \frac{\ell}{2}dt</math>,

где <math>\phi</math> представляет собой угол между векторами <math>\mathbf{r}</math> и <math>\mathbf{v}</math>.

При выводе первого закона было показано, что <math>\ell = const</math>. То же самое можно получить простым дифференцированием углового момента:

<math>\frac{d\mathbf{L}}{dt} = (\mathbf{r} \times \mathbf{F}) + \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times m\frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)

= ( \mathbf{r} \times \mathbf{F} ) + ( \mathbf{v} \times \mathbf{p} ) = 0 </math>

Последний переход объясняется равенством нулю векторного произведения колинеарных векторов. Действительно, сила здесь всегда направлена по радиус-вектору, тогда как импульс направлен вдоль скорости по определению.

Получили, что <math>\mathbf L</math> не зависит от времени. Значит <math>|\mathbf{L}|</math> постоянен, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади <math>\frac{dS}{dt}</math> — константа.

Вывод Третьего закона Кеплера

Файл:Третий закон Кеплера.jpg

Третий закон Кеплера

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках <math>P</math> (перигелий) и <math>A</math> (афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

<math>\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1-\varepsilon)a\cdot V_A\,dt= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\varepsilon)a\cdot V_B\,dt</math>

<math>(1-\varepsilon)\cdot V_A=(1+\varepsilon)\cdot V_B</math>

<math>V_A=V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}</math>

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках <math>A</math> и <math>B</math>, запишем

<math>\frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\varepsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\varepsilon)a}</math>

<math>\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\varepsilon)a}-\frac{GM}{(1+\varepsilon)a}</math>

<math>\frac{V_A^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1}{(1-\varepsilon)}-\frac{1}{(1+\varepsilon)} \right ) </math>

<math>\frac{\left ( V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\varepsilon-1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} \right ) </math>

<math>V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2=\frac{2GM}{a}\cdot \left ( \frac{2\varepsilon}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} \right ) </math>

<math>V_B^2 \cdot \left ( \frac{(1+\varepsilon)^2-(1-\varepsilon)^2}{(1-\varepsilon)^2}\right )=\frac{4GM\varepsilon}{a\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} </math>

<math>V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+2\varepsilon+\varepsilon^2-1+2\varepsilon-\varepsilon^2}{(1-\varepsilon)^2} \right) =\frac{4GM\varepsilon}{a\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} </math>

<math>V_B^2 \cdot 4\varepsilon =\frac{4GM\varepsilon\cdot (1-\varepsilon)^2}{a\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} </math>

<math>V_B =\sqrt{\frac{GM\cdot(1-\varepsilon)}{a\cdot(1+\varepsilon)}}.</math>

Теперь, когда нашли <math>V_B</math>, мы можем найти секторную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

<math>\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B </math>

<math>= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\varepsilon)a\cdot \sqrt{\frac{GM\cdot(1-\varepsilon)}{a\cdot(1+\varepsilon)}} =

\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)}</math>

Однако полная площадь эллипса равна <math>\pi a \sqrt{(1-\varepsilon^2)}a</math> (что равно <math>\pi a b</math>, поскольку <math>b=\sqrt{(1-\varepsilon^2)}a</math>). Время полного оборота, таким образом, равно

<math>T\cdot \frac{dA}{dt}=\pi a \sqrt{(1-\varepsilon^2)}a</math>

<math>T\cdot \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)}=\pi \sqrt{(1-\varepsilon^2)}a^2</math>

<math>T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2\pi a^2}{\sqrt{GMa}}=

\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}</math>

Заметим, что если масса <math>m</math> не пренебрежимо мала по сравнению с <math>M</math>, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы <math>M+m</math> (см. приведённая масса). При этом массу <math>M</math> в последней формуле нужно заменить на <math>M+m</math>:

Альтернативный расчёт

Рассмотрим планету как точку массой <math>m</math>, вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:

перигелий с радиус-вектором <math>r_1=a-c</math>, скоростью <math>V_1</math>;
афелий с радиус-вектором <math>r_2=c+a</math>, скоростью <math>V_2</math>.

Запишем закон сохранения момента импульса

и закон сохранения энергии

<math>\frac{mV_1^2}{2}-\frac{GmM}{r_1} =\frac{mV_2^2}{2}-\frac{GmM}{r_2}</math> ,

где M — масса Солнца.

Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке «перигелий»:

<math>V_1=\sqrt{2GM\frac{r_2/r_1}{r_1+r_2}}</math> .

Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):

<math>V_s=1/2\cdot V_1r_1=\sqrt{GM\frac{r_2r_1}{2(r_1+r_2)}}</math> .

Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:

<math>S_{ellipse}=\pi ab</math>

где <math>a</math> — длина большой полуоси, <math>b</math> — длина малой полуоси орбиты.

С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:

<math>S_{ellipse}=V_s\cdot T=T\cdot\sqrt{\frac{GMr_2r_1}{2(r_1+r_2)}}</math> .

Следовательно,

<math>T\cdot\sqrt{\frac{GMr_2r_1}{2(r_1+r_2)}}=\pi a b</math> .

Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения

Подставим в формулу площади эллипса:

Откуда окончательно получим:

<math>\frac{T}{a^{3/2}}=const</math>

или в традиционном виде

<math>\frac{T^2}{a^3}=const .</math>

Примечания

Шаблон:Примечания

См. также

Литература

Внешние ссылки

↑ Шаблон:Cite book Шаблон:Wayback
↑ Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observationibus G.V. Tychnonis. Prague 1609.
↑ Johannes Kepler, Harmonices Mundi [The Harmony of the World] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), book 5, chapter 3, p. 189.

Шаблон:Выбор языка Шаблон:Небесная механика Шаблон:История астрономии Шаблон:Иоганн Кеплер

[Holton-1] Шаблон:Cite book Шаблон:Wayback

[2] Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observationibus G.V. Tychnonis. Prague 1609.

[Kepler_1619-3] Johannes Kepler, Harmonices Mundi [The Harmony of the World] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), book 5, chapter 3, p. 189.

[1]

[2]

[3]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.