Русская Википедия:Закон Стефана — Больцмана

Зако́н Сте́фана — Бо́льцмана (закон Стефана, закон излучение Стефана — Больцмана) — интегральный закон излучения абсолютно чёрного тела. Он определяет зависимость плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела от его температуры. В словесной форме его можно сформулировать следующим образом^[1]:

Полная объёмная плотность равновесного излучения и полная испускательная способность абсолютно чёрного тела пропорциональны четвёртой степени его температуры.

Для полной испускательной способности (энергетической светимости) <math>j^{\star}</math> закон имеет вид: Шаблон:Equation box 1 где <math>T</math> — температура абсолютно чёрного тела, <math>\sigma</math> — постоянная Стефана — Больцмана, которая может быть выражена через фундаментальные константы путём интегрирования по всем частотам формулы Планка^[2]: Шаблон:Equation box 1 где <math>h</math> — постоянная Планка, <math>k</math> — постоянная Больцмана, <math>c</math> — скорость света. Численно постоянная Стефана — Больцмана равна^[3]

<math>\sigma=5{,}670\ 367(13)\cdot 10^{-8}</math> Вт / (м² · К⁴).

Закон открыт сначала эмпирически Йозефом Стефаном в 1879 году, и через пять лет выведен теоретически Людвигом Больцманом в рамках термодинамики Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Больцман исходил из кинетической теории газов и цикла идеальной обратимой тепловой машины с излучением в качестве рабочего тела вместо газа. Он предполагал, что это излучение оказывает давление на стенки сосудаШаблон:Sfn. Это единственный важный физический закон, названный в честь словенского физикаШаблон:Sfn.

Закон говорит только об общей излучаемой энергии. Распределение энергии по спектру излучения описывается формулой Планка, в соответствии с которой в спектре имеется единственный максимум, положение которого определяется законом Вина. Используя современную формулировку, его можно вывести из закона Планка:

<math> j^{\star} = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{\mathrm{d}j^{\star}}{\mathrm{d}\lambda} \right) \mathrm{d}\lambda = \pi \int_{0}^{\infty} B_{\lambda} \, \mathrm{d}\lambda \!\,.</math>

Применение закона к расчёту эффективной температуры поверхности Земли даёт оценочное значение, равное 249 К или −24 °C.

Общая форма

Файл:Emissive Power.svg

Увеличение мощности излучения при изменении температуры

Если замкнутую систему нагретых излучающих тел поместить в полость с идеальными отражающими стенками, то со временем установится термодинамическое равновесие между излучением и всеми телами. Температуры всех тел станут одинаковымиШаблон:Sfn. Равновесие достигается не только на поверхности тел, но и внутри них. Возбуждённые атомы испускают излучение, которое поглощается другими атомами среды, возбуждая их, тем самым попадая со временем на поверхность тела, с которой излучается в окружающее пространство^[4]. Тепловое излучение — это равновесная форма излучения, которое однородно, изотропно, неполяризовано, обладает непрерывным спектром. Энергию Шаблон:Math, приходящуюся на единичный диапазон частот называют спектральной испускательной способностью тела или спектральной плотностью энергетической светимости. Она зависит от частоты и температуры. При интегрировании этой величины по всему спектру получают суммарный поток энергии излучения единицы поверхности называют интегральной испускательной способностью или энергетической светимостьюШаблон:Sfn:

<math>j^{\star}=\int_0^{\infty}r(\omega,T)d\omega\,.</math>

Эта величина имеет размерность [Вт/м²] в единицах СИ Шаблон:Sfn. Обычные тела поглощают частично свет падающий на них. Спектральная поглощательная способность тела характеризуется как отношение поглощённого потока падающего излучения из узкого интервала частот Шаблон:Math к падающему потоку (Шаблон:Math)Шаблон:Sfn:

<math>a_{\omega,T}=\frac{d\Phi^{'}_{\omega}}{d\Phi_{\omega}}\,.</math>

Эта безразмерная величина не может быть больше единицы по определению. Если поглощение одинаково для всех частот, то такое тело называют серым. Для реальных тел поглощение зависит от частоты. В специальном случае полного поглощения падающего излучения во всём спектре говорят об абсолютно чёрном теле Шаблон:Sfn. Его излучение имеет универсальны характер, и его энергетическая светимость пропорциональна четвёртой степени температурыШаблон:Sfn:

<math> j^{\star} = \varepsilon\sigma T^{4} \!\,,</math>

где ε — интегральная поглощательная способность тела. Для абсолютно чёрного тела ε = 1 выражение имеет специальное название: закон Стефана — Больцмана. Для многих температур металлы имеют ε = 0,1…0,4, а для окислов металлов ε = 0,5…0,9Шаблон:Sfn.

Для серых тел, закон можно записать в виде:

<math> j^{\star}_{\rm s} = (1 - a) \sigma T^{4} = (1 - a) j^{\star}_{0} \!\, . </math>

Однако, если коэффициент отражения зависит от длины волны <math>a(\lambda)</math>, применяется закон излучения Кирхгофа:

<math> \frac{\mathrm{d}j^{\star}}{\mathrm{d} \lambda} = \left[ 1 - a(\lambda) \right] \left( \frac{\mathrm{d}j^{\star}}{\mathrm{d} \lambda} \right)_{0} \!\,, </math>

или

<math> j^{\star}_{\rm s} = \varepsilon (T) \sigma T^{4} \!\, . </math>

В технической литературе общий закон Стефана — Больцмана обычно записывается в виде:

<math> j^{\star} = \varepsilon_{n} C_{\rm c} \left( \frac{T}{100} \right)^{4} \!\,, </math>

в основном для того, чтобы было проще вычислить где он находится <math>\varepsilon_{n}</math> излучение в направлении, перпендикулярном поверхности. Излучение в полупространстве для гладких металлических, гладких и шероховатых тел составляет:

<math>\varepsilon \approx 1,20 \varepsilon_{n} \!\,, </math>

<math>\varepsilon \approx 0,95 \varepsilon_{n} \!\,, </math>

<math>\varepsilon \approx 0,98 \varepsilon_{n} \!\, . </math>

Цвет поверхности не влияет на яркость. Белые поверхности сильно излучают. Гладкие материалы, такие как алюминий и бронза, имеют низкое сияние. Стекло пропускает коротковолновый свет, но не пропускает длинноволновое тепловое излучение.

В отличие от твёрдых тел, излучающих и поглощающих с поверхности, у газов степень поглощения зависит от толщины газового слоя и проходит по всему объёму (закон поглощения):

<math> \varepsilon = 1 - \frac{1}{e^{-\mu x}} \!\,, </math>

где <math>x</math> — длина пути излучения через газ и <math>\mu</math> — коэффициент поглощения. Одноатомные и большинство двухатомных газов в технических расчётах можно рассматривать как диатермические вещества, то есть хорошо пропускающие тепло. Технически важно выделять углекислый газ и водяной пар, которые излучают и поглощают в более широких диапазонах спектра. Свыше 600 °C теплопроводность этих газов может быть высокой, при ещё более высоких температурах она может превысить конвекционный перенос.

Открытие

Файл:John William Draper.jpg

Джон Уильям Дрейпер

Файл:Physiker.jpg

Тиндаль (справа) с Фарадеем, Хаксли, Уитстоном и Брюстером

20 марта Стефан опубликовал закон в статье «О связи между тепловым излучением и температурой» (Шаблон:Lang-de) в «Докладах заседания Венской академии наук». Статья показывает его путь к открытию законаШаблон:Sfn. Резюме рукописи содержало четыре страницы формата А4, вся статья — 61 страницу, а печатная версия — 38 страницШаблон:Sfn.

Ньютон обнаружил, что интенсивность лучистого потока от горячего тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Пьер Дюлонг и Алексис Пти показали, что зависимость от температуры не является линейной, и важны более высокие степениШаблон:Sfn. Они рассматривали теплообмен между нагретой сферической колбой и окружающими стенками сферического сосуда при комнатной температуре. Они считали, что данная установка заполненная различными газами при различных давлениях будет хорошей моделью для исследования лучистого переноса тепла. Формула для лучистой мощности, к которой они пришли, имела видШаблон:Sfn Шаблон:Sfn

где μ — зависящая от размера тела и материала константа, Шаблон:Math=1,0077 — не зависящая от материала константа, Шаблон:Math — температура. Стефан понял, что пренебрегать теплопереносом в системе не следует и использовал их данные для поиска новой зависимости вида

где Шаблон:Math — постоянная зависящая от площади поверхности тела и температура дана в КельвинахШаблон:Sfn.

В 1847 году Дрейпер попытался определить, при какой температуре начинает излучать нагретое тело. Он этого не наблюдал, но обнаружил, что плотность потока излучаемой энергии возрастает гораздо быстрее, чем прямо пропорционально температуре. В 1878 году Стефан прочитал работу Дрейпера о лучистой энергии Шаблон:Sfn. В 1848 году Кельвин ввёл абсолютную шкалу температур. Стефан также использовал абсолютную температуру в своём экспериментеШаблон:Sfn. Густав Кирхгоф ввёл закон теплового излучения в 1859 году и доказал его в 1861 годуШаблон:Sfn.

<math> \frac{\varepsilon (\lambda)}{a (\lambda)} = B_{\lambda}(\lambda) \!\, . </math>

В 1862 году он ввёл термин «излучение чёрного тела». Он сравнил излучение чёрного и других излучающих телШаблон:Sfn. Он также предположил способ реализации такого излучения. Излучение чёрного тела <math> B_{\lambda}(\lambda) \!\, </math> зависит только от температуры источника излучения, но Кирхгофу не удалось определить функциональную зависимость.

Джон Тиндаль исследовал «невидимый» инфракрасный свет в 1864 году. Инфракрасные волны были открыты Уильямом Гершелем в 1800 году. Он использовал призму и с её помощью преломлял солнечный свет и использовал термометр для измерения повышения температуры за красной частью светового спектра. Он назвал эту часть спектра тепловыми лучами. Термин инфракрасный свет появился в конце XIX века. Томас Зеебек открыл явление термоэлектричества в 1821 году. Вскоре после этого, в 1835 году, Мачедонио Меллони изготовил первую термоэлектрическую батарею и открыл тепловое излучение. Было обнаружено, что новое излучение представляет собой свет, невидимый человеческому глазу, или электромагнитные волны с немного большей длиной волны, чем видимый красный свет.

В 1840 году Джон Гершель сделал первое инфракрасное изображение. Тиндаль нагрел электрическим током лампочку, в которой заменил обычную угольную нить на платиновую проволоку. Провод светился. По мере увеличения электрического тока температура провода увеличивалась и излучала всё больше и больше света. Он уловил свет линзой и призмой из каменной соли разделил излучаемый проволокой свет на радужный спектр. На место красной части поместил батарею последовательно соединенных термопар Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Он присоединил контакты, где ток перетекал из одного металла в другой, с внешней стороны счётчика и зачернил их. Соединения, где ток был в обратном направлении, он спрятал в корпус счётчика. Первые спаи поглощали падающий свет и нагревались, а вторые имели температуру окружающей среды. Он измерил силу тока чувствительным гальванометромШаблон:Sfn. Тиндаль хотел получить только приблизительный результат, а температуру проволоки не измерял. Он только указал цвет излучаемого света. Для бледно-красных отклонение гальванометра составило 10,4°, а для белых 60°. В 1864 году он опубликовал трактат «О видимом и невидимом излучении», в котором попытался ответить, как излучение красного света зависит от температуры. Немецкий перевод был опубликован в 1865 году и был прочитан Адольфом Вюльнером Шаблон:Sfn. Во второе и третье издания своего учебника термодинамики «Наука о теплоте с точки зрения механической теории теплоты» включил данные Тиндаля. Он отрегулировал температуры. Хотя он полагался на измерения Дрейпера, он действовал произвольно. Книгу Вюльнера получил Стефан, который изменил температуру на абсолютную и учёл исправленное отклонение гальванометра для белого, для которого Тиндаль уже упоминал о необходимости брать удвоенное значение 122°. Таким образом, бледно-красный цвет провода имел температуру 798 К (525 °С), белый 1473 К (1200 °С). При этом Стефан предполагал, что плотность излучаемого потока энергии пропорциональна отклонению гальванометра. Он попытался записать связь между абсолютной температурой провода T и плотностью излучаемого потока энергии j в виде степенной зависимости:

<math> j \propto \sigma T^{n} \!\,.</math>

Из обеих пар данных он определил отношения потоков энергии 122/10,4 = 11,731. Он достаточно точно приблизился к значению, если возводил в степень отношение соответствующих абсолютных температур 1473/798 = 1,846 в четвёртой степени: <math>1,846^{4} = 11,613</math>, так что n = 4. Он проверил значения по данным Дюлонга и Пти, вычитая вклад теплопроводности. Новый закон хорошо согласовывался со старыми данными. Константа σ, полученная из его измерений, может быть записана в современных единицах измерения Шаблон:Sfn:

<math> \sigma = 5,056 \cdot 10^{-8} \ \mathrm{W/(m^{2}\, K^{4})} \!\,.</math>

Его измерение было довольно точным и на 10,8 % меньше чем современное значения. Он также проверил закон по данным de la Provostaye и Desains (1846), Draper и Ericsson (1872)Шаблон:Sfn и Despretz.

В 1876 году Шаблон:Iw независимо от Максвелла вывел уравнение для лучистого давления электромагнитных волн термодинамическиму методом. Он обнаружил, что с помощью движущегося зеркала тепло может передаваться от более прохладного тела к более тёплому при совершении работы. Он представил себе обратимое бесконечно малый цикл Карно, при котором энтропия не меняется, а абсолютная проделанная работа связана с давлением света на зеркало. Чтобы второй закон термодинамики работал, свет должен передавать давление на зеркало. Поэтому лучистое давление также называли «давлением Максвелла — Бартоли».

В 1880 году Крова, Андре Проспер Поль опубликовал диаграмму трёхмерного представления графика интенсивности теплового излучения в зависимости от длины волны и температурыШаблон:Sfn.

Брошюры Бартоли «О движениях, вызванных теплом» и «Радиометр Крукса» остались незамеченными. Последний раз на это обратил внимание Больцман, который обобщил идею Бартоли о том, что второй закон термодинамики требует существования лучистого давления и восемью годами позже вывел этот закон термодинамическим путёмШаблон:Sfn. Бартоли был близок к закону Стефана — Больцмана, но не учитывал температурную зависимость плотности потока энергии лучистого чёрного тела. Он опубликовал резюме брошюры в 1884 и 1885 годахШаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Стефан, вероятно, не знал о размышлениях Бартоли о вакууме в радиометре с 1876 года, пока в 1883 году Бартоли не получил публичную поддержку Генри Эдди, профессора математики и астрономии в Университете ЦинциннатиШаблон:Sfn.

Радо фон Кёвелигети, изучавший теоретическую физику вместе со Стефаном в Венском университете, опубликовал спектральное уравнение в 1885 году в своей первой диссертации «Теория спектра», в которой предсказал предельную энергию излучения чёрного тела. Форма кривой зависимости спектральной плотности от длины волны была очень похожа на кривую Планка:

<math> u(\lambda,T) = \frac{2\pi h c_{0}^{2}}{\lambda^{5}} \frac{1}{e^{h c_{0}/(\lambda k_{\rm B} T)}-1} \!\, . </math>

Фон Кёвеслигети записал функциональную форму спектрального уравнения следующим образомШаблон:Sfn:

<math> L(\lambda) = \frac{4}{\pi} \mu \Lambda \frac{\lambda^{2}}{\left( \lambda^{2} + \mu^{2} \right)^{2}} \!\, . </math>

где <math> L(\lambda) \!\, </math> означает интенсивность излучения на длине волны <math> \lambda \!\, </math>, <math> \Lambda \!\, </math> — интенсивность излучения во всём диапазоне длин волн. Постоянная <math> \mu \!\, </math> определяется средним расстоянием и взаимодействием между частицами и даёт длину волны, при которой интенсивность излучения максимальна. Тогда было известно, что твёрдые тела начинают излучать в точке Дрейпера независимо от типа излучаемого вещества. Основываясь на этом результате, фон Кёвеслигети предположил, что <math> \mu \!\, </math> в уравнении зависит только от температуры.

Его спектральное уравнение имело ту же форму, что и открытое Вином в 1893 годуШаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

<math> u(\lambda,T) \propto \frac{1}{\lambda^{5}} f \left( \frac{c_{0}}{\lambda T} \right) \!\, . </math>

Уравнение фон Кёвеслигети даёт зависимость постоянной <math> \mu \!\, </math> от лучистой температуры тела:

<math> \frac{\mu}{\mu_{0}} = \left( \frac{T_{0}}{T} \right) ^{\frac{n + 1}{2 (n - 1)}} \!\,, </math>

где индекс 0 обозначает сравнительный источник излучения. Лучший выбор параметра в экспоненте <math> n = 3 \!\, </math>, что даёт закон Вина, открытый 11 лет спустя:

<math> \frac{\mu T}{\mu_{0} T_{0}} = 1, \qquad \left( \lambda_{0} T = k_{{\rm W},\lambda}, \quad \mu \equiv \lambda_{0} \right) \!\, . </math>

Вывод

Вывод из закона Планка

Спектральную плотность излучения абсолютно чёрного тела как функцию длины волны <math>\lambda</math> даёт закон Планка:

<math> \frac{\mathrm{d}j^{\star}}{ d\lambda} = \pi B_{\lambda} = \frac{2 \pi h c_{0}^{2} }{\lambda^5} \, \frac{1}{e^{hc_{0}/ (\lambda k_{\rm B} T)} - 1} \!\,, </math>

где <math> h \!\, </math> — постоянная Планка, <math> c_{0} \!\, </math> — скорость света в вакууме <math> k_{\rm B} \!\, </math> — постоянная Больцмана, <math> T \!\, </math> — абсолютная температура.

Плотность светового потока определяется интегралом по всем длинам волн:^[5]^[6]

<math> j^{\star} = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{\mathrm{d}j^{\star}}{\mathrm{d}\lambda} \right) \mathrm{d}\lambda = \pi \int_{0}^{\infty} B_{\lambda} \, \mathrm{d}\lambda = 2 \pi h c_{0}^{2} \int_{0}^{\infty} \, \frac{1}{\lambda^5(e^{hc_{0}/ (\lambda k_{\rm B} T)} - 1)} \mathrm{d}\lambda \!\, . </math>

Введя новую переменную u :

<math> u = \frac{hc_{0}}{\lambda k_{\rm B} T} \!\,, </math>

где

<math> \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \lambda} = - \frac{hc_{0}}{\lambda^{2} k_{\rm B} T } \!\,, </math>

приходим к интегралу:

<math> j^{\star} = \frac{2 \pi k_{\rm B}^{4} T^{4}}{h^{3} c_{0}^{2}} \int_{0}^{\infty} \, \frac{u^{3}}{e^{u} - 1} \mathrm{d}u \!\, . </math>

Его вычисление даёт <math>\pi^4/15</math>. Шаблон:Начало скрытого блока Сначала полезно вычислить интеграл более общего вида:

<math> \int_{0}^{\infty} \frac{u^{n}}{e^{u} - 1} \mathrm{d}u \!\,, </math>

или, что то же самое,

<math> \int_{0}^{\infty} \frac{u^{n} e^{-u}}{1 - e^{-u}} \mathrm{d}u \!\, . </math>

Так как знаменатель всегда меньше 1, его можно разложить по степеням <math>e^{-u}</math> для получения сходящегося ряда:

<math> \frac{1}{1 - e^{-u}} = \sum_{k=0}^{\infty} e^{-ku} \!\, . </math>

В основном уравнение берётся на сумму геометрического ряда. Дробь слева представляет собой выражение для ряда, обозначаемого суммой:

<math> 1 + e^{-u} + e^{-2u} + e^{-3u} + \cdots \!\, . </math>

это обычный множитель <math>e^{-u}</math>. Затем в интеграл подставляется ряд:

<math> \int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u} \sum_{k=0}^{\infty} e^{-ku} \mathrm{d}u \!\, . </math>

Умножение на <math> e^{-u} \!\, </math> слева сдвигает сумму строк на одну позицию вправо, так что:

<math> e^{-u} + e^{-2u} + e^{-3u} + \cdots \!\, </math>

становится:

<math> e^{-2u} + e^{-3u} + e^{-4u} + \cdots \!\, . </math>

Поэтому индекс повышается на сумму единиц и отбрасывается <math> e^{-u} \!\, </math> :

<math> \int_{0}^{\infty} u^{n} \sum_{k=1}^{\infty} e^{-ku} \mathrm{d}u \!\, . </math>

Вводится новая переменная:

так что:

в:

<math> \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} u} = k \!\,, </math>

интеграл превращается в:

<math> \int_{0}^{\infty} \frac{v^{n}}{k^{n}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} e^{-v} \mathrm{d} v \!\,, </math>

или:

<math> \int_{0}^{\infty} v^{n} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{n+1}} e^{-v} \mathrm{d} v \!\, . </math>

Поскольку каждый член суммы представляет собой сходящийся интеграл, сумма может быть получена из интеграла:

<math> \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{n+1}} \int_{0}^{\infty} v^{n} e^{-v} \mathrm{d} v \!\, . </math>

Интеграл справа — это гамма-функция, <math>\Gamma (n+1)</math>, сумма слева — это функция Римана ζ, <math>\zeta (n+1)</math>. Таким образом, окончательно верхний интеграл имеет значение:

<math> \int_{0}^{\infty} \frac{u^{n}}{e^{u} - 1} \mathrm{d}u = \Gamma (n+1) \zeta (n+1) \!\,, </math>

или эквивалент:

<math> \int_{0}^{\infty} \frac{u^{n-1}}{e^{u} - 1} \mathrm{d}u = \Gamma (n) \zeta (n) \!\, . </math>

Для целых чисел :

<math> \Gamma (n) = (n - 1)! \!\,, </math> или <math> \Gamma (n+1) = n! \!\, </math>

и оттуда:

<math> \Gamma (4) = (3)! = 6 \!\, . </math>

Для чётных целых чисел:

где <math>B_{n}</math> — число Бернулли и применяется:

так что:

аналитическое значение интеграла:

<math> \int_{0}^{\infty} \frac{u^{4-1}}{e^{u} - 1} \mathrm{d}u = 6 \,\mathrm{Li}_4(1) = 6 \, \zeta(4) = 6 \cdot \frac{\pi^{4}}{90} = \frac{\pi^{4}}{15} \!\,, </math>

где <math>\mathrm{Li}_{s}(z)</math> — полилогарифм.

Шаблон:Конец скрытого блока

Файл:Stefan Boltzmann 001.svg

График зависимости плотности потока энергии <math>j^{\star}</math> термодинамической температуры <math>T\,</math>. В бирюзовом цвете плотность потока энергии согласно приближению Вина

Окончательно плотность светового потока:

и закон Стефана — Больцмана (<math>\Gamma</math> — гамма-функция, <math>\zeta</math> — Дзета-функция Римана):

<math> j^{\star} = \frac{2 \pi^{5} k_{\rm B}^{4}}{15 h^{3} c_{0}^{2}} T^{4} = \frac{a}{b^{4}} \Gamma(4) \zeta(4) T^{4} = \frac{a_{1} a}{a_{0}} T^{4} = \sigma T^{4} \!\,, </math>

с константами:

<math> a = \frac{2\pi h}{c_{0}^{2}} = \frac{a_{0}c_{0}}{4} \!\,, \qquad

    b = \frac{h}{k_{\rm B}} \!\,, \qquad 
    a_{0} = \frac{8\pi h}{c_{0}^{3}} = \frac{4a}{c_{0}} \!\, </math>

и постоянная излучения :

<math> a_{1} = \frac{a_{0}}{a} \sigma = \frac{4\sigma}{c_{0}} = \frac{8\pi^{5} k_{\rm B}^{4}}{15h^{3}c_{0}^{3}} \!\, . </math>

Термодинамический вывод

Больцман представил себе коробку, заполненную излучением чёрного тела, и поршень на одной стенке, толкаемый радиационным давлениемШаблон:Sfn. Из тензора напряжения Максвелла классической электродинамики следует, что лучистое давление <math> p \!\, </math> связано с плотностью внутренней энергии <math> w \!\, </math> соотношением:

Полная внутренняя энергия <math> U \!\, </math> для объёма <math> V \!\, </math> содержащего электромагнитное излучение, можно записать как:

Согласно первому и второму законам термодинамики (основное термодинамическое соотношение), изменение внутренней энергии равно:

<math> \mathrm{d}U = T \mathrm{d}S - p \mathrm{d}V \!\,, </math>

откуда следует:

<math> T \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_{T} = \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_{T} + p \!\, . </math>

Согласно термодинамическому соотношению Максвелла:

<math> \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T =

+\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = - \frac{\partial^2 F }{\partial T \partial V} \!\, </math>

можно написать:

<math> T \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_{V} = \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_{T} + p \!\, . </math>

Поскольку лучистое давление пропорционально плотности внутренней энергии, оно зависит только от температуры, а не от объёма. Применяется следующее:

<math> \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} T} = \frac{1}{3} \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} T} \!\, </math>

в:

<math> \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_{T} = 3p = w \!\,, </math>

так что:

<math> T \frac{1}{3} \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} T} = w + \frac{1}{3}w = \frac{4}{3} w \!\, . </math>

После расстановки переменных:

<math> \frac{\mathrm{d} w}{w} = 4 \frac{\mathrm{d} T}{T} \!\, </math>

и интегрирования:

<math> \ln w = 4 \ln T + \, \mathrm{const.} \!\, </math>

Последними являются плотность потока энергии и закон Стефана — Больцмана:

<math> j^{\star} = w c_{0} = c_{0} e^{\mathrm{konst.}} T^{4} = \frac{2 \pi^{5} k_{\rm B}^{4}}{15 h^{3} c_{0}^{2}} T^{4} = \sigma T^{4} \!\,, </math>

где постоянная Стефана, выраженная через другие основные константы, взята из предыдущего вывода, поскольку постоянная Планка h неизвестна классической электродинамике. Отсюда следует, что аддитивная константа:

<math> \mathrm{const.} = \ln \frac{2 \pi^{5} k_{\rm B}^{4}}{15 h^{3} c_{0}^{3}} = -36,204022 \, \ln\left[ \mathrm{J/(m^{3} \, K^{4}) } \right] \!\, . </math>

Оглядываясь назад, можно увидеть, что Больцману либо повезло, либо, что более вероятно, он вдохновился на сравнение результатов классического электромагнетизма с идеей о том, что излучение ведёт себя как жидкость. В то время не было возможности дать ответ на вопрос о какой-либо частице жидкости, даже эвристический, до предположения Планка и систематического исследования квантования поля излучения. С помощью размерного анализа Больцман мог заключить, что если бы постоянная Стефана зависела от других основных констант, одна из них должна была бы содержать размерность массы, которые не были известны в классической физике. В современном смысле аргумент Больцмана эквивалентен утверждению о том, что тензор электромагнитного напряжения безследовый:

Это уравнение применимо к классическому полю Максвелла, и Больцман неявно предполагал, что оно применимо и к квантованному полю. В настоящее время известно несколько примеров теорий поля, для которых тензор напряжения является бесследовым на классическом уровне, но не при правильном квантовании теории. Примерами являются электродинамика, связанная с (безмассовыми) частицами с нетривиальными явлениями поляризации вакуума и неабелевой теории взаимодействий. Действительно, закон Стефана — Больцмана в квантовой электродинамике (КЭД) неприменим при высоких температурахШаблон:Sfn.

n-мерное пространство

Закон важен и в n-мерном пространстве. Лучистое давление в n-мерном пространстве равноШаблон:Sfn:

так что:

<math> T \, \mathrm{d} S = (n+1)p \, \mathrm{d} V + n V \, \mathrm{d} p \!\, </math>

От ассоциации:

<math> \frac{1}{p}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} T}=\frac{(n+1)}{T} \!\, </math>

следует:

<math> p \propto T^{n+1} \!\, </math>

но:

<math> w \propto T^{n+1} \!\,, </math>

насколько это возможно

<math> \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t} \propto T^{n+1} \!\, . </math>

Тот же результат получается с интегралом по частоте в законе Планка для n-мерного пространства, в противном случае с другим значением постоянной Стефана для каждого измерения. В общем, константа та жеШаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

<math> \sigma_{n} = \frac{\pi^{\frac{n-2}{2}} n(n-1)}{h^{n}} \left(\frac{2}{c_{0}}\right) ^{n-1} k_{\rm B}^{n+1} \Gamma\left( \frac{n}{2}\right) \zeta(n+1); \qquad n > 1 \!\, . </math>

Это специально для <math>n = 1\, </math> :

<math> \sigma_{1} = \frac{2 k_{\rm B}^{2} \zeta(2)}{\pi h c_{0}} \!\,, </math>

за <math>n = 2\, </math> :

<math> \sigma_{2} = \frac{4\pi k_{\rm B}^{3} \zeta(3)}{h^{2} c_{0}} \!\, </math>

и для <math>n = 3\, </math> :

<math> \sigma_{3} \equiv \sigma = \frac{12\pi k_{\rm B}^{4} \zeta(4)}{h^{3} c_{0}^{2}} \!\, . </math>

Примеры

Температура поверхности Солнца

Файл:EffectiveTemperature 300dpi e.png

Спектр теплового излучения чёрного тела (серый по закону Планка) по сравнению со спектром Солнца на внешнем краю земной атмосферы (оранжевый). Плотность потока энергии одинакова в обоих случаях.

Используя свой закон, Стефан также определил температуру поверхности Солнца Шаблон:Sfn. Он опирался на данные Жак-Луи Соре о том, что плотность потока энергии Солнца на Землю в 29 раз превышает плотность потока энергии нагретой металлической пластины. Соре измерил плотность потока энергии на Монблане. Стефан поместил круглую плитку на таком расстоянии от метра, чтобы она смотрела под тем же углом, что и Солнце. По оценкам Соре, температура плитки составит от 1900 °C до 2000 °СШаблон:Sfn. Стефан предположил, что 1/3 потока энергии Солнца удерживает атмосфера Земли. Поэтому он принял за правильный поток солнечной энергии на 3/2 большее значение, 29 · 3/2 = 43,5. Точные измерения атмосферного поглощения были сделаны только в 1888 и 1904 годах. Для температуры Стефан взял среднее значение двух предыдущих 1950 °С и для абсолютной термодинамической 2200 К. Так как 2,57⁴ = 43,5, то из закона следует, что температура Солнца в 2,57 раза выше температуры плитки. Таким образом Стефан получил значение 5430 °С или 5703 К. Это было первое осмысленное значение температуры атмосферы Солнца.

Ему предшествовали значения от 1800 °С до 13 000 000 °С. Анджело Секки впервые назвал значение 18 000 000 °F (10 000 255 К), а позже 250 000 °F (139 144 К)Шаблон:Sfn. Шаблон:Iw в 1861 году и Шаблон:Iw в 1878 г. приводили преувеличенные значения. Россетти записал закон мощности излучения в формеШаблон:Sfn:

<math> j = \varepsilon aT^{2} \left( T - T_{0} \right) - b (T - T_{0}), \qquad (\varepsilon = 1) \!\,, </math>

что дало без поправки на поглощение значение 10 238,4 К.

Ньютон определил интенсивность солнечного излучения, наблюдая за повышением температуры сухой земли при солнечном свете. В середине лета при ясной погоде на широте Лондона земля в полдень достигает 65,6 °С и 29,4 °С, так что разница составляет примерно 36,2 °С. Ньютон считал эту разницу верным показателем силы солнечного излучения. Таким образом, он показал, что комета 1680 года подвергалась воздействию температуры, в 7000 раз превышающей температуру кипения воды (212 · 7000 = 1 484 000 ° F (824,663 К)). Комета находилась в космосе на расстоянии 1/3 солнечного радиуса от поверхности Солнца. Из-за рассеивания лучей через солнечную атмосферу и на соответствующем расстоянии Джон Эрикссон сообщил о температуре солнечной фотосферы не менее 2 640 000 ° F (1 466 921 К)Шаблон:Sfn. Год спустя, в 1872 году, Эрикссон пересчитал значение 4 036 000 °F (2.242.477 К)Шаблон:Sfn.

Дюлонг и Пти в 1817 году сообщили значение из соотношения степени охлаждения тел в вакууме 1900 °СШаблон:Sfn. Первое значение 1800 °С (между 1461 и 1761 °С) было определено Клодом Пулье в 1838 году из модели Дюлонга — ПтиШаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Пулье принял половину значения потока энергии Солнца. Вероятно, этот результат напомнил Стефану, что модель Дюлонга — Пти не работает при высоких температурах. Если солнечный свет собрать с помощью линзы, он может нагреть тело до температуры выше чем 1800 °С.

Излучения Солнца на его поверхность и на поверхность Земли одинаковы:

<math> \sigma T_{\odot}^{4} 4\pi r_{\odot}^{2} = j_{\odot} 4\pi a_{0}^{2} \!\,, </math>

поэтому сегодняшнее расчётное значение:

<math>

T_{\odot} = \sqrt[4]{\frac{j_{\odot} 4 \pi a_{0}^{2}}{\sigma 4 \pi r_{\odot}^{2}}} = \sqrt[4]{\frac{j_{\odot} a_{0}^{2}}{\sigma r_{\odot}^{2}}} = \sqrt[4]{\frac{1366 \cdot 149597870691^{2}}{5{,}670400 \cdot 10^{-8} \, \cdot \, (6{,}960 \cdot 10^{8})^{2}}} = 5775,9 \ \mathrm{K} \!\,, </math>

где <math>j_{\odot} = 1366</math> Вт/м² — среднее значение солнечной постоянной (плотность светового потока от Солнца на внешней границе земной атмосферы), <math>a_{0}</math> — астрономическая единица, <math>r_{\odot}</math> — солнечный радиус и <math>L_{\odot}</math> — светимость Солнца.

Температура звёзд

Температуру других звёзд можно определить аналогичным образом, рассматривая испускаемую энергию как излучение абсолютно чёрного тела^[7]. Светимость звезды L:

<math> L = jS= 4 \pi r^{2} \sigma T_{\rm e}^{4} \!\,, </math>

r — радиус звезды и <math>T_{\rm e}</math> — эффективная температура. Это же уравнение можно использовать для расчёта приблизительного радиуса звезды из главной последовательности относительно Солнца:

<math> \frac{r}{r_{\odot}} \approx \left ( \frac{T_{\odot}}{T} \right )^{2} \sqrt{\frac{L}{L_{\odot}}} \!\, . </math>

С помощью закона Стефана — Больцмана астрономы могут легко рассчитать радиус звезды.

Излучение Хокинга

Закон проявляется и в термодинамике чёрных дыр в излучении Хокинга. Температура излучения Хокинга равна:

<math> T_{\rm H} = \frac{\hbar c_{0}^{3}}{8 \pi \kappa m k_{\rm B}} \!\, . </math>

Поверхность сферы Шварцшильда с радиусом Шварцшильда <math>r_{\rm s}</math> является:

<math> S_{\rm s} = 4 \pi r_{\rm s}^{2} = 4 \pi \left( \frac{2 \kappa m}{c_{0}^{2}} \right)^{2} = \frac{16 \pi \kappa^{2} m^{2}}{c_{0}^{4}} \!\, . </math>

Таким образом, излучение чёрной дыры (при <math>\varepsilon=1</math>):

<math> L = \varepsilon j S_{\rm s} = \varepsilon \sigma T_{\rm H}^{4} S_{\rm s} = \varepsilon \left( \frac{\pi^{2} k_{\rm B}^{4}}{60 \hbar^{3} c_{0}^{2}} \right) \left( \frac{\hbar c_{0}^{3}

}{8 \pi \kappa m k_{\rm B}} \right)^{4} \left( \frac{16 \pi \kappa^{2} m^{2}}{c_{0}^{4}} \right) = \frac{\hbar c_{0}^{6}}{15360 \pi \kappa^{2} m^{2}} \!\,, </math>

где <math>\hbar</math> — приведенная постоянная Планка, <math>c_{0}</math> — скорость света и <math>\kappa</math> — гравитационная постоянная Ньютона. Эти уравнения ещё не были выведены в рамках полуклассической теории гравитации.

Температура поверхности Земли

Файл:Sun-Earth-Radiation.png

Солнечное излучение на Земле

Аналогичным образом можно рассчитать эффективную температуру поверхности Земли <math>T_{\rm Z}</math> путём определения энергии, получаемой от Солнца, и энергии, излучаемой Землёй, где необходимо думать, что оба тела абсолютно чёрные:

<math> T_{{\rm Z},0} = T_{\odot} \sqrt{\frac{r_{\odot}}{2 a_{0}}} = 5776 \cdot \sqrt{\frac{6,96 \cdot 10^{8}}{2 \cdot 149597870691}} \approx 279 \; {\rm K} \!\, . </math>

Таким образом, эффективная температура на поверхности Земли равна 6 ° С.

Приведённый выше расчет является грубым приближением, потому что по умолчанию Земля является чёрным телом. Равновесная планетарная температура имела бы одно и то же значение, если бы светимость и поглощательная способность планеты уменьшались на некую постоянную пропорцию на всех длинах волн, потому что входящие и исходящие значения всё равно были бы одинаковыми при одной и той же температуре. Однако эта температура больше не будет соответствовать определению эффективной температуры. Тот же результат получится, если предположить, что вся Земля представляет собой серое тело :

<math> (1-a)j_{\odot} \pi r_{\rm Z}^{2} = 4 \pi r_{\rm Z}^{2} \varepsilon \sigma T^{4}_{{\rm Z},0} \!\,, </math>

где отражательная способность и яркость одинаковы, так что отношение:

<math> a + \varepsilon = 1 \!\, </math>

и является:

<math> T_{{\rm Z},0} = \sqrt[4]{\frac{j_{\odot}}{4\sigma}} = T_{\odot} \sqrt{ \frac{r_{\odot}}{ 2 a_{0}} } \!\, . </math>

На самом деле Земля не имеет характеристик серого тела. Альбедо Земли таково, что около 30 % падающей солнечной радиации отражается обратно в космос. Из них 4 % отражённого излучения на поверхности, 20 % от облаков и 6 % выбрасывается в воздух. Если принять во внимание приведённую энергию Солнца и рассчитать температуру чёрного излучения, которое излучало бы столько энергии обратно в космос, то «эффективная температура», соответствующая такому представлению, составляет около 255 КШаблон:Sfn.

<math> (1-a)j_{\odot} \pi r_{\rm Z}^{2} = 4 \pi r_{\rm Z}^{2} \sigma T^{4}_{{\rm Z},1} \!\,, </math>

где использовано

<math>\varepsilon = 1 \!\, </math>

и является

<math> T_{{\rm Z},1} = \sqrt[4]{\frac{(1-a)j_{\odot}}{4 \sigma} } = \sqrt[4]{\frac{(1-0,3)\cdot 1366}{4 \cdot 5{,}670400 \cdot 10^{-8}} } \approx 255 \; {\rm K} \!\, . </math>

По сравнению с 30 % отражения солнечной энергии, большее количество излучения с большими длинами волн поглощается или отражается от поверхности Земли в атмосферу и не передаётся за счёт парниковых газов, особенно: водяного пара, углекислого газа и метана Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Поскольку яркость (измеренная на более высоких длинах волн, где излучает Земля) уменьшается больше, чем поглощательная способность (измеренная на более низких длинах волн солнечного излучения), равновесная температура выше, чем показывает простое приближение чёрного тела, а не ниже. Фактическая средняя температура поверхности Земли составляет около 288 К, а не 279 К. Глобальное потепление увеличивает эту равновесную температуру из-за воздействия человека на парниковые газы. С 1880 года, когда общая равновесная температура предполагалась равной 13,6 °С, она повысилась на 0,7 °С до 14,3 °С, а плотность потока энергии глобального потепления составляет 0,02 Вт/м²Шаблон:Sfn.

Состояние радиационного равновесия Земли задаётся простой моделью нулевой траектории:

<math> (1-a)j_{\odot} \pi r_{\rm Z}^{2} = 4 \pi r_{\rm Z}^{2} \varepsilon \sigma T^{4}_{{\rm Z},2} \!\,, </math>

где а = 0,3 — средняя отражательная способность Земли и <math>\varepsilon</math> = 0,612 эффективной светимости Земли. Левая часть представляет собой входящую энергию Солнца, а правая — уходящую энергию от Земли в соответствии с законом Стефана — Больцмана. Следовательно

<math> T_{{\rm Z},2} = \sqrt[4]{\frac{(1-a)j_{\odot}}{4\varepsilon \sigma} } = \sqrt[4]{\frac{(1-0,3)\cdot 1366}{4 \cdot 0,612 \cdot 5{,}670400 \cdot 10^{-8}} } \approx 288 \; {\rm K} \!\, . </math>

Тот же результат получается, если предположить, что атмосфера Земли является серым телом и принять во внимание её излучение <math>\varepsilon_{o}</math>:

<math> T_{{\rm Z},2} = T_{{\rm Z},1} \sqrt[4]{\frac{2}{2 - \varepsilon_{o}} } = T_{{\rm Z},1} \sqrt[4]{\frac{1}{\varepsilon} } = 255 \cdot \sqrt[4]{\frac{2}{2 - 0,776} } = 255 \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{0,612} } \approx 288 \; {\rm K} \!\, . </math>

Солнечное излучение по-разному отражается на разных длинах волн. У края атмосферы отражение в инфракрасном диапазоне равно 0,8, а у поверхности в видимом 0,2.

Плотность светового потока чёрных тел

В таблице приведены плотности излучаемого светового потока некоторых идеализированных чёрных тел или состояний.

<math>T</math> [ К ]	<math>\vartheta</math> [ °С ]	тело/состояние	<math>j^{\star}</math> [Вт/м² ]
118,9 · 10⁻¹⁶		Излучение Хокинга чёрной дыры с массой Солнца	113,2 · 10⁻⁸³
0,0648	-272 935	световой поток, все ещё воспринимаемый человеческим глазом	10⁻¹²Шаблон:Sfn
2,7	-270,45	космическая микроволновое реликтовое излучение	3,013 · 10⁻⁶
14.01	-259,14	температура плавления жидкого водорода	0,00218
184	-89	самая низкая измеренная температура на Земле (1983 год)	65,0
273,15	0	лёд	315,0
288	15	средняя температура на Земле	390,1
298	25	комнатная температура	447,2
309,8	36,8	средняя температура тело человека	522,3
331	58	самая высокая измеренная температура на Земле (1922 год)	680,7
394	121	Солнечное излучение на краю атмосферы	1366
503	230	горячая сварка стали	3629,8
773	500	горячий обогреватель	20 245,6
798	525	чёрное тело в точке Дрейпера	22 994,4
1273	1000	жёлтое пламя	148 911,2
1941 г.	1668	расплавленный титан	804 851,7
2041.4	1768,4	расплавленная платина	984 750,3
2773	2500	лампа накаливания	3 352 842,9
5776		Солнечная фотосфера	63 113 529,9
25000		средняя температура Вселенной через 10 000 лет после Большого взрыва	22 150 001 850
15,7 · 10⁶		Ядро Солнца	3.445183366 · 10²¹
10 · 10⁹		вспышка сверхновой	567.04400475 · 10³⁰
140 · 10³⁰		Планковская температура чёрной дыры температура Вселенной 500 · 10⁻⁴² с после Большого взрыва	217.8341047 · 10¹²³

Плотность потока энергии приближения Вина

Файл:RWP-comparison.svg

Сравнение законов излучения чёрного тела: приближение Рэлея — Йенса (красный), приближение Вина (синий) и закон Планка (зелёный) для тела с температурой 8 мК.

Плотность потока энергии в приближении Вина равна:

<math> j^{\star}_{\rm W} = 2 \pi h c_{0}^{2} \int_{0}^{\infty} \, \frac{1}{\lambda^{5} e^{hc_{0}/ (\lambda k_{\rm B} T)}} \mathrm{d}\lambda \!\, . </math>

С той же переменной u, что и выше, интеграл переходит в:

<math> j^{\star}_{\rm W} = \frac{2 \pi k_{\rm B}^{4} T^{4}}{h^{3} c_{0}^{2}} \int_{0}^{\infty} \, \frac{u^{3}}{e^{u}} \mathrm{d}u \!\, . </math>

а значение интеграла равно:

<math> \int_{0}^{\infty} \frac{u^{3}}{e^{u}} \mathrm{d}u = 6 \!\,, </math>

так что плотность потока энергии:

<math> j^{\star}_{\rm W} = \frac{12 \pi k_{\rm B}^{4}}{h^{3} c_{0}^{2}} T^{4} = \frac{90}{\pi^{4}} j^{\star} = \frac{1}{\zeta(4)} \sigma T^{4} \approx 0,923938 \, \sigma T^{4} \!\, </math>

соответственно меньше.

Плотность потока энергии приближения Рэлея — Джинса

Плотность потока энергии в приближении Рэлея — Джинса равна:

<math> j^{\star}_{\rm R} = 2 \pi c_{0} k_{\rm B} T \int_{0}^{\infty} \, \frac{1}{\lambda^{4}} \mathrm{d}\lambda \!\, . </math>

Интеграл расходится:

<math> \int_{0}^{\infty} \, \frac{1}{\lambda^{4}} \mathrm{d}\lambda = \infty \!\,, </math>

так что плотность потока энергии бесконечна:

<math> j^{\star}_{\rm R} = \infty \!\, . </math>

Это классический результат, согласно которому происходит непрерывный обмен энергией излучения.

Подтверждение, принятие и значение

Некоторые физики обвиняют Стефана в том, что его путь к открытию закона был довольно шатким. В частности, ошибкой оказалось использовать платину в качестве источника излучения абсолютно чёрного телаШаблон:Sfn. Было бы неправильно сказать, что он открыл закон вслепую. Многие счастливые совпадения повлияли на его целеустремленность, что часто случается со многими важными открытиями. Измерив теплопроводность, он убедился в неприменимости модель Дюлонга — Пти, использовал кинетическую теорию газов, применил абсолютную температуруШаблон:Sfn. В модели Дюлонга — Пти также использовалась температура по Цельсию. Вскоре после публикации статьи другие исследователи тоже начали проверять закон Стефана. Он был подтверждён Лео Гретцем в 1880 году и Кристианом Кристиансеном в 1884 годуШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

На момент открытия закона ещё не было до конца установлена его область применимости. В конце концов, исследователи поняли, что нужно использовать абсолютно чёрное тело. Модель чёрного тела была разработана Отто Люммером и Эрнстом Прингсгеймом в 1897 году и Фердинандом Курльбаумом в 1898 годуШаблон:Sfn. В 1896 году Вильгельм Вин открыл закон смещения максимума спектра излучении чёрного тела. Макс Планк начал работать над излучением чёрного тела в 1894 году. Он впервые рассмотрел влияние электромагнитных волн на небольшой электрический диполь Шаблон:Sfn. Он открыл свой закон в 1900 году, а лорд Рэлей и Джеймс Джинс представили свой закон в 1905 году на основе классической физики, который оказался аппроксимацией закона Планка. Закон Планка нельзя вывести только из уравнений электромагнитного поля, и необходимо учитывать подходы квантовой физики. Планк едва смирился с новой идеей, что излучение не может непрерывно обмениваться энергией со стенкой чёрного тела. Его формула сначала не воспринималась всерьёз, но в 1905 году Альберт Эйнштейн расширил свою идею и объяснил фотоэлектрическое явление в своей статье «Об эвристической позиции относительно происхождения и изменения света». В 1920 году Шатьендранат Бозе разработал теорию статистической фотонной механики, из которой удалось теоретически вывести закон Планка.

Значение Стефана солнечной температуры было независимо эмпирически подтверждено в 1894 году Уильямом Уилсоном и Греем с использованием гелиостата и переработанного дифференциального радиомикрометра, сделанного в 1889 году Чарльзом Бойзом. Прибор представлял собой комбинацию болометра и гальванометра. Используя нулевой метод, они сравнили солнечное излучение с излучением от электрически нагретой платиновой полосы. Они измерили эффективную температуру около 7073 К, что после нескольких поправок на поглощение в атмосфере Земли и атмосферы Солнца в 1901 году дало значение 6590 °С (6863 К)Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Примечания(А)

Шаблон:Примечания

Примечания

Шаблон:Примечания

Источники

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Внешние ссылки

Шаблон:Выбор языка

[1] Книга:Физическая энциклопедия

[2] Шаблон:Сивухин

[3] Шаблон:Cite web

[4] Шаблон:Cite web

[5] Шаблон:Cite web

[6] Шаблон:Cite web

[luminosity-7] Шаблон:Cite web

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Закон Стефана — Больцмана

Содержание

Общая форма

Открытие

Вывод

Вывод из закона Планка

Термодинамический вывод

n-мерное пространство

Примеры

Температура поверхности Солнца

Температура звёзд

Излучение Хокинга

Температура поверхности Земли

Плотность светового потока чёрных тел

Плотность потока энергии приближения Вина

Плотность потока энергии приближения Рэлея — Джинса

Подтверждение, принятие и значение

Примечания(А)

Примечания

Источники

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты