Русская Википедия:Закон смещения Вина

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Wiens law.svg

Кривые зависимостей cпектральной плотности излучения абсолютно чёрных тел с различными температурами от длины волны. Видно, что при возрастании температуры максимум спектральной плотности сдвигается в коротковолновую часть спектра. Именно эту особенность и описывает закон Вина

Зако́н смеще́ния Ви́на — физический закон, устанавливающий зависимость длины волны, на которой спектральная плотность потока излучения чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году, путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению. Соответствующее смещение пика интенсивности с температурой наблюдалось и экспериментально. В настоящее время закон смещения Вина может быть получен математически из закона Планка.

Общий вид закона смещения Вина

Закон выражается формулой

<math>\lambda_\text{max} = b/T,</math>

где <math>\lambda_\text{max}</math> — длина волны излучения с максимальной интенсивностью, а <math>T</math> — температура. Коэффициент <math>b = \frac{ch}{k\alpha}</math> (где Шаблон:Mvar — скорость света в вакууме, Шаблон:Mvar — постоянная Планка, Шаблон:Mvar — постоянная Больцмана, Шаблон:Mvar ≈ 4,965114… — постоянная величина, корень уравнения <math>\alpha / 5 = 1 - e^{-\alpha}</math>), называемый постоянной Вина, в Международной системе единиц (СИ) имеет значение 0,002898 м·К.

Для частоты света <math>\nu</math> (в герцах) закон смещения Вина имеет вид

<math>\nu_\text{max} = \frac{\alpha}{h} kT \approx 5{,}879 \times 10^{10} \cdot T,</math>

где Шаблон:Math ≈ 2,821439… — постоянная величина (корень уравнения <math>\alpha / 3 = 1 - e^{-\alpha}</math>), Шаблон:Mvar — постоянная Больцмана, Шаблон:Mvar — постоянная Планка, Шаблон:Mvar — температура (в кельвинах).

Различие численных постоянных здесь обусловлено различием между показателями степени в планковском распределении, записанном для длины волны и частоты излучения: в одном случае входит <math>\lambda^{-5}</math>, в другом — <math>\omega^3 \sim \lambda^{-3}</math>. Это различие, в свою очередь, возникает из-за нелинейности связи между частотой и длиной волны:

<math>\omega = \frac{2\pi c}{\lambda}, \quad \frac{d}{d\omega} = -\frac{\lambda^2}{2\pi c} \frac{d}{d\lambda}.</math>

Вывод закона

Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для испускательной способности <math>\varepsilon_{\lambda}(\lambda, T)</math> абсолютно чёрного тела, записанное для длин волн:

<math>\varepsilon_{\lambda} = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/\lambda kT} - 1}.</math>

Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по <math>\lambda</math> и приравнять производную нулю:

<math>\frac{\partial\varepsilon_{\lambda}}{\partial \lambda} = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^6} \frac{1}{e^{hc/\lambda kT} - 1} \left( \frac{hc}{kT \lambda}\frac{e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT} - 1\right)} - 5 \right) = 0.</math>

Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда <math>\lambda \to \infty</math> или когда <math>e^{hc/\lambda kT} \to \infty</math>, что выполняется при <math>\lambda \to 0</math>. Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка <math>B(\lambda)</math>, которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

<math>\frac{hc}{kT \lambda} \frac{e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT} - 1\right)} - 5 = 0.</math>

Используя замену переменных <math>x = \frac{hc}{kT \lambda}</math>, данное уравнение можно преобразовать к виду

<math>\frac{x e^x}{e^x - 1} - 5 = 0.</math>

Численное решение этого уравнения даёт

<math>x = 4{,}965114231744276\ldots</math>

Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума:

<math>\lambda_\text{max} = \frac{hc}{x} \frac{1}{kT} = \frac{2{,}89776829\ldots \times 10^{-3}}{T},</math>

где температура дана в кельвинах, а <math>\lambda_\text{max}</math> — в метрах.

Примеры

Согласно закону смещения Вина, чёрное тело с температурой человеческого тела (~310 K) имеет максимум теплового излучения на длине волны около 10 мкм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.

Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм. Соответственно, эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону.

См. также

• Абсолютно чёрное тело
• Закон излучения Планка
• Закон Стефана — Больцмана

Ссылки

• Мир физики Эрика ВейстейнаШаблон:Ref-en
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья