Русская Википедия:Закон сохранения импульса
Шаблон:Механика сплошных сред Зако́н сохране́ния и́мпульса (зако́н сохране́ния количества движения) — закон, утверждающий, что сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю[1].
В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении системы в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии внешнего воздействия скорость изменения импульса определяется суммой приложенных сил.
Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, — однородностью пространства[2].
Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. ДекартомШаблон:Sfn.
Вывод в механике Ньютона
Согласно второму закону Ньютона для системы из N частиц выполняется соотношение
- <math> \frac{d\vec {p}}{dt} =\vec {F} ,</math>
где <math>\vec {p}</math> — импульс системы:
- <math>\vec{p}= \sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n,</math>
<math>\vec{p}_n</math> — импульс материальной точки, а <math>\vec {F}</math> — равнодействующая всех сил, приложенных к частицам системы:
- <math>\vec{F}= \sum_{k=1}^{N} \ \vec{F}^{ext}_{k}+\sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{N} \ \vec{F}_{n,m},\quad m\ne n.</math>
Здесь <math>\vec{F}_{n,m} </math> — сила (или сумма сил, если таковых несколько), действующая на n-ю частицу со стороны m-ой, а <math> \vec{F}^{ext}_{k} </math> — равнодействующая всех внешних сил, приложенных к k-й частице. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида <math>\vec {F}_{n,m} </math> и <math>\vec {F}_{m,n} </math> равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть <math>\vec{F}_{n,m} = -\vec{F}_{m,n}</math>. Поэтому вторая сумма в правой части выражения для <math>\vec{F}</math> будет равна нулю, внутренние силы исключаются, и получаем, что производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:
- <math>\frac{d\vec {p}}{dt}= \sum_{k=1}^{N} \ \vec{F}^{ext}_{k}.</math>
Для системы из N частиц, в которой сумма всех внешних сил равна нулю:
- <math> \sum_{k=1}^{N} \ \vec{F}^{ext}_{k} =0, </math>
и тем более для системы, на частицы которой не действуют внешние силы (<math> \vec{F}^{ext}_{k} =0</math> для всех k от 1 до N), имеем
- <math> \frac {d}{dt} \sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=0.</math>
Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:
- <math>\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=\overrightarrow {\mathrm{const}} \qquad</math> (постоянный вектор).
То есть суммарный импульс системы из N частиц является постоянной величиной. При N = 1 получаем выражение для случая одной частицы. Таким образом, следует вывод[1]:
Шаблон:Рамка Если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем. Шаблон:Конец рамки
Закон сохранения импульса выполняется не только для систем, на которые не действуют внешние силы, он справедлив и в тех случаях, когда сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю. То есть отсутствие внешних сил, действующих на систему, достаточно, но не необходимо для выполнения закона сохранения импульса.
Если проекция суммы внешних сил на какое-либо направление или координатную ось равна нулю, то в этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса на данное направление или координатную ось.
Связь с однородностью пространства
Шаблон:Симметрия в физике Согласно теореме Нётер каждому закону сохранения ставится в соответствие некая симметрия уравнений, описывающих систему. В частности, закон сохранения импульса эквивалентен однородности пространства, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве. Простейший вывод этого утверждения основан на применении лагранжева подхода к описанию системы.
Вывод из закона сохранения энергии
Рассмотрим систему нескольких соударяющихся упругим образом (без превращения части механической энергии в другие формы) частиц с массами <math>m_{i}</math> и скоростями <math>u_{i}</math> до столкновений и <math>U_{i}</math> после столкновений. Закон сохранения энергии имеет вид
- <math>\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}u_{i}^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}U_{i}^{2}.</math>
Перейдём в систему отсчёта, равномерно и прямолинейно движущуюся со скоростью <math>v</math>. Скорости частиц с точки зрения этой системы отсчёта будут <math>u_{i} - v</math> до столкновений и <math>U_{i} - v</math> после столкновений. Закон сохранения энергии с точки зрения этой системы имеет вид
- <math>\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(u_{i} - v)}^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(U_{i} - v)}^{2},</math> или
- <math>\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(u_{i}^{2} - 2vu_{i}+{v}^{2})}=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(U_{i}^{2} - 2vU_{i}+{v}^{2})}.</math>
Следовательно <math>\sum_{i} m_{i} v u_{i} = \sum_{i} m_{i} v U_{i}</math>, откуда следует <math>v \sum_{i} m_{i} u_{i} = v \sum_{i} m_{i} U_{i}</math>. Поскольку скорость <math>v</math> произвольна, то последнее равенство будет справедливым только в случае выполнения закона сохранения импульса
- <math>\sum_{i} m_{i} u_{i} = \sum_{i} m_{i} U_{i}.</math>Шаблон:Sfn
Вывод из формализма Лагранжа
Рассмотрим функцию Лагранжа свободного тела <math>\mathcal L \equiv \mathcal L(q_i, \dot q_i, t),</math> зависящую от обобщённых координат <math>q_i\,,</math> обобщённых скоростей <math>\dot q_i</math> и времени <math>t</math>. Здесь точка над <math>q</math> обозначает дифференцирование по времени, <math>\dot q_i \equiv \frac{\partial q_i}{\partial t}.</math> Выберем для рассмотрения прямоугольную декартову систему координат, тогда <math>q_i=\vec r_a, \ \dot q_i = \vec v_a</math> для каждой <math>a</math>-той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения: <math>\vec r_a \to \vec r_a + \vec{\xi}, </math> где <math>\vec{\xi} \equiv \overrightarrow {\mathrm{const}}.</math> В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:
- <math>\delta \mathcal L = \sum_{a}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \vec r_a} \delta \vec r_a = \vec{\xi}\ \sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a}, </math>
где суммирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю: <math>\delta \mathcal L =0.</math> С учётом того, что вектор <math>\vec \xi</math> — произвольный, последнее требование выполняется при:
- <math>\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a}=0.</math>
Воспользуемся уравнением Лагранжа <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}=0:</math>
- <math>\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a} = \sum_{a}\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \frac{d}{dt}\sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = 0 .</math>
Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, — постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы:
- <math>\vec P = \sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \overrightarrow {\mathrm{const}}. </math>
Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид: <math>\mathcal L = \frac{mv^2}{2},</math> нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме:
- <math>\vec P = \sum_a m_a \vec v_a = \overrightarrow {\mathrm{const}}.</math>
Для релятивистской свободной частицы лагранжиан имеет несколько другую форму: <math>\mathcal L = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},</math> что приводит к релятивистскому определению импульса
- <math>\vec P = \sum_a \frac{m_a \vec v_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \overrightarrow {\mathrm{const}}.</math>
В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствующих о невыполнении закона сохранения импульса.
Закон сохранения импульса в квантовой механике
Закон сохранения импульса в изолированных системах выполняется и в квантовой механике[3]Шаблон:Sfn. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс, как и в классической механике, равен <math>p=mv</math>, а когда проявляются волновые свойства частиц, их импульс равен <math>p=\frac{\hbar}{\lambda}</math>, где <math>\lambda</math> - длина волныШаблон:Sfn. В квантовой механике закон сохранения импульса является следствием симметрии относительно сдвигов по координатамШаблон:Sfn.
Закон сохранения импульса в теории относительности
Закон сохранения импульса выполняется и в теории относительности. Отличие от классической механики состоит лишь в том, что в теории относительности зависимость импульса от скорости имеет вид
- <math>p=\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn
В общей теории относительности, аналогично ситуации с законом сохранения энергии, при переходе к искривлённому пространству-времени закон сохранения импульса, выражаемый пространственными компонентами соотношения для тензора энергии-импульса
- <math>T^\mu_{\nu;\mu}=0,</math>
где точка с запятой выражает ковариантную производную, приводит лишь к локально сохраняющимся величинам. Это связано с отсутствием глобальной однородности пространства в пространстве-времени общего вида.
См. также
- Закон сохранения момента импульса
- Теорема о движении центра масс системы
- Теорема об изменении количества движения системы
Примечания
Ссылки
Литература
- ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Нп5 Введение в физику высоких энергий. — М., Мир, 1975. — c. 94
