Русская Википедия:Импликация

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Булева функция Имплика́ция (от Шаблон:Lang-la «связь; сплетение») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».

Импликация записывается как посылка <math>\Rightarrow</math> следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способамиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законыШаблон:Sfn.

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключениемШаблон:Sfn.

Булева логика

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества <math>\{0, 1\}</math>. Результат также принадлежит множеству <math>\{0, 1\}</math>. Вычисление результата производится по простому правилу либо по таблице истинности. Вместо значений <math>0, 1</math> может использоваться любая другая пара подходящих символов, например <math>\operatorname{false}, \operatorname{true}</math> или <math>F, T</math> или «ложь», «истина».

Правило:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция <math>A \to B</math> — это сокращённая запись выражения <math>\neg A \lor B</math>.

Таблицы истинности:

прямая импликация (от a к b, <math>\neg A \lor B</math>) (Шаблон:Нп3, Шаблон:Нп3)

<math>a</math> <math>b</math> <math>a \to b, a \leqslant b</math>
<math>0</math> <math>0</math> <math>1</math>
<math>0</math> <math>1</math> <math>1</math>
<math>1</math> <math>0</math> <math>0</math>
<math>1</math> <math>1</math> <math>1</math>
  • если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
  • если <math>a \leqslant b</math>, то истинно (1).

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).
В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.

обратная импликация (от b к a, <math>A \lor (\neg B)</math>)

<math>a</math> <math>b</math> <math>a \leftarrow b, a \geqslant b</math>
<math>0</math> <math>0</math> <math>1</math>
<math>0</math> <math>1</math> <math>0</math>
<math>1</math> <math>0</math> <math>1</math>
<math>1</math> <math>1</math> <math>1</math>
  • если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
  • если <math>a\geqslant b</math>, то истинно (1).

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации (<math>A \land (\neg B)</math>)

<math>a</math> <math>b</math> <math>\lnot(a \to b), a > b</math>
<math>0</math> <math>0</math> <math>0</math>
<math>0</math> <math>1</math> <math>0</math>
<math>1</math> <math>0</math> <math>1</math>
<math>1</math> <math>1</math> <math>0</math>
  • если первый операнд больше второго операнда, то 1,
  • если <math>a > b</math>, то истинно (1).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (<math>\lnot A \land B</math>), разряд займа в двоичном полувычитателе.

<math>a</math> <math>b</math> <math>\lnot(a \leftarrow b), a < b</math>
<math>0</math> <math>0</math> <math>0</math>
<math>0</math> <math>1</math> <math>1</math>
<math>1</math> <math>0</math> <math>0</math>
<math>1</math> <math>1</math> <math>0</math>
  • если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
  • если <math>a < b</math>, то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языке

  • Если А, то Б
  • Б в том случае, если А
  • При А будет Б
  • Из А следует Б
  • В случае А произойдёт Б
  • Б, так как А
  • Б, потому что А
  • А — достаточное условие для Б
  • Б — необходимое условие для А
  • А имплицирует Б
  • А влечёт Б

Многозначная логика

Шаблон:В планах

Теория множеств

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом <math>\Rightarrow</math>, и ей соответствует вложение множеств: пусть <math>A \subset B</math>, тогда

<math>x \in A \Rightarrow x \in B.</math>

Например, если <math>A</math> — множество всех квадратов, а <math>B</math> — множество прямоугольников, то, конечно, <math>A \subset B</math> и

(a — квадрат) <math>\Rightarrow</math> (a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации <math>A \rightarrow B</math> формуле <math>\neg A \lor B</math> (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле <math> \neg (A \land \neg B)</math>, которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

Шаблон:Заготовка раздела

Интуиционистская логика

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде <math>A \rightarrow \nvDash</math>, где <math>\nvDash</math> — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Лингвистика

В лингвистике под импликацией (от implicāre «вплетать, впутывать») понимается использование в предложении неявных (имплицитных) словесных выражений, в том числе недосказанность в виде упущения одного или нескольких существительных в определительной цепочке. Так, например, А.Д. Швейцер и Б.Н. Климзо в своих трудах для переводчиков с английского языка и на английский выделяют 7 типов импликаций, которые надо учитывать: первые должны устранять в своих переводах импликации, неприемлемые в русском языке, а вторым полезно использовать английские импликации с целью компрессии текста.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

  • Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга
  • Барабанов О. О. Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. С.49-53.
  • Климзо Б.Н. Ремесло технического переводчика. — М.: «Р.Валент», 2003. — 288 с. С.75-84.
  • Швейцер А.Д. Перевод и лингвистика. — М.: «Воениздат», 1973.

Ссылки

Внешние ссылки


Шаблон:Выбор языка Шаблон:Булева алгебра Шаблон:Нет сносок

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Импликация&oldid=9994016