Русская Википедия:Инвариантная производная по времени
Инвариантная производная по времени — это производная по времени инерциальной системы. В самой инерциальной системе инвариантная производная по времени есть просто обычная производная по времени: <math>\frac{\partial}{\partial t}</math>. В неинерциальной системе инвариантная производная по времени состоит из суммы обычной производной по времени <math>\frac{\partial}{\partial t}</math> и дополнительных слагаемых, связанных со скоростью <math>V^i</math> движения неинерциальной системы относительно инерциальной. Поле скоростей может быть неоднородным <math>V^i(x)</math> и в общем случае зависеть от времени <math>V^i(x, t)</math>. Так, например, в неинерциальной системе, связанной с неравномерно вращающимся колесом, поле скоростей неоднородно в пространстве и во времени. Поскольку поле скоростей <math>V^i(x, t)</math> есть относительная скорость движения координатных систем, которые не являются материальными объектами, то эта скорость по величине может превышать скорость света и даже быть бесконечной. Никакого противоречия со специальной теорией относительности (СТО) при этом, конечно же, не возникает. Например, поле скоростей неинерциальной системы, связанной с вращающимся колесом, на достаточно большом расстоянии от центра вращения по величине превышает скорость света и стремится к бесконечности при дальнейшем удалении от центра.
Обозначим посредством <math>\bar{x}</math> координаты в инерциальной системе, а <math>x(\bar{x}, t)</math> — координаты в неинерциальной. Тогда скорость движения неинерциальной системы относительно инерциальной есть
<math>V^i(x, t) = \frac{\partial x^i(\bar{x}, t)}{\partial t}</math>
Инвариантная производная по времени от скаляра <math>F(x, t)</math> в неинерциальной системе есть:
<math>D_t F(x, t) = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x^i}\frac{\partial x^i}{\partial t} = \frac{\partial F}{\partial t} + V^i(x, t) \frac{\partial F}{\partial x^i}</math>.
Инвариантная производная по времени от тензоров имеет дополнительные слагаемые, связанные с преобразованием их компонент при переходе из одной системы координат в другую <math>\bar{x} \to x(\bar{x}, t)</math>. Так, например, для векторов и ковекторов имеем:
<math>A^i = \frac{\partial x^i}{\partial \bar{x}^j}\bar{A}^j</math>;
<math>A_i = \frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^i}\bar{A}_j</math>.
Следовательно,
<math>D_t A^i = \frac{\partial A^i}{\partial t} + V^j \frac{\partial A^i}{\partial x^j} - A^j \frac{\partial V^i}{\partial x^j}</math>;
<math>D_t A_i = \frac{\partial A_i}{\partial t} + V^j \frac{\partial A_i}{\partial x^j} + A_j \frac{\partial V^j}{\partial x^i}</math>.
Аналогично вычисляются инвариантные производные по времени от тензоров высших рангов.
Важным свойством инвариантной производной по времени является то, что все производные по пространственным координатам <math>\frac{\partial}{\partial x^i}</math> в правых частях приведённых выше выражений можно заменить на ковариантные производные, согласованные с метрикой пространства <math>dl^2 = \gamma_{ij} dx^i dx^j</math>, то есть
<math>D_t A^i = \partial_t A^i + V^j A^i_{;j} - A^j V^i_{;j}</math>,
<math>D_t A_i = \partial_t A_i + V^j A_{i;j} + A_j V^j_{;i}</math>,
при этом слагаемые со связностями Кристоффеля взаимно сокращаются.
Рассмотренные выше «добавки» к обычным производным по времени являются Ли — вариациями (или, иначе, производными Ли) тензорных полей вдоль векторного поля <math>V^i</math>, которые были изучены выдающимся норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899).
Всем известные центробежное и кориолисово ускорения, появляющиеся во вращающейся неинерциальной системе, — дополнительные слагаемые в инвариантной производной по времени от вектора скорости движущейся материальной точки.
Литература
