Русская Википедия:Инволюция (математика)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Involution-3.png

Инволюция

Инволю́ция (от Шаблон:Lang-la — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе. Часто дополнительно предполагается, что инволюция — это нетождественное отображение.

Определение

Функция <math>f\colon X\to X</math> называется инволюцией, если <math>f(f(x)) = x</math> для всякого <math>x\in X</math>.

Свойства

• Любая инволюция — это биекция.

• Композиция <math>{f}\circ{g}</math> двух инволюций <math>f</math> и <math>g</math> является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: <math>{f}\circ{g} =g\circ f</math>.

Примеры

• <math>f(x) = -x</math>, заданная на множестве целых <math>\mathbb{Z}</math>, рациональных <math>\mathbb{Q}</math> или вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>;
• простейшие инволюции на множестве вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>:

  <math>\dfrac{a}{x}</math>, <math>a-x</math>, <math>\dfrac{x}{x-1}</math>, <math>\dfrac{x+1}{x-1}</math>, <math>\dfrac{x-1}{x+1}</math>, <math>\dfrac{ax+b}{cx-a}</math>;

• <math>f(x)= \bar{x}</math> — дополнение множества, заданная для подмножеств некоторого универсального множества <math>U</math>;
• <math>f(x)= \neg x</math> — логическое отрицание булевой алгебры;
• Среди движений плоскости есть два типа нетривиальных инволюций: центральная и зеркальная симметрии.
  • Таким образом инволюции соответствуют прямым и точкам — основным объектам планиметрии. На этом наблюдении основана аксиоматика Бахмана.
• инверсия;
• комплексное сопряжение;
• преобразование Лежандра
• Перестановка <math>\tau</math> является инволюцией, если <math>\tau\circ\tau=id</math>, каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:

  <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\

5 & 7 & 4 & 3 & 1 & 8 & 2 & 6\end{pmatrix} = (1,5)(2,7)(3,4)(6,8)</math>.

• • Число инволюций в группе перестановок порядка <math>n</math> определяется по формулам:

    <math> a(0) = 1,\ a(1) = 1,\ a(n) = a(n-1) + (n-1)a(n-2),\ n>1</math> (рекуррентная формула),

    <math>a(n) = \sum_{k=0}^{[ n/2 ]}{\frac{n!}{2^k\cdot (n-2k)!\cdot k!}}</math>,

(первые значения <math>a(n)</math>: 1, Шаблон:Nums).