Русская Википедия:Интегральная теорема Коши

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексной переменной.

Теорема

Пусть <math> D \subset \mathbb{C}</math> — область, а функция <math>f(z)</math> голоморфна в <math>D</math> и непрерывна в замыкании <math>\overline{D}</math>. Тогда для некоторой односвязной области <math>A\subset\mathbb C,</math> и для любой замкнутой жордановой кривой <math>\Gamma\subset A</math> справедливо соотношение <math>\oint\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0</math>

Доказательство

Приведем доказательство, когда область <math> D</math> односвязна, а производная <math>f</math> непрерывна. Из уравнений Коши — Римана следует, что дифференциальная форма <math>f(z)\,dz</math> замкнута. Пусть теперь <math>\Gamma</math> — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции <math>f(z)</math>, ограничивающий область <math>D</math>. Тогда по теореме Стокса имеем:

<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\,dz = \int\limits_{\partial D} f(z)\,dz = \int\limits_D d[f(z)\,dz] = 0 </math>

Обобщение

Можно доказать и без дополнительных предположений о непрерывности производной. Идея доказательства в том, что достаточно установить существование первообразной у дифференциальной формы <math>f(z)dz</math>. Для этого достаточно доказать, что интеграл по любому прямоугольнику с параллельными координатным осям сторонами равен нулю.

Если этот интеграл отличен от нуля и равен числу <math>a</math>, то при разрезании прямоугольника на 4 равных прямоугольника (снова с параллельными координатным осям сторонами) модуль интеграла по одному из прямоугольников уменьшится максимум вчетверо. Разрежем и его и будем продолжать этот процесс. Но у вложенной последовательности прямоугольников должна быть общая точка <math>p</math>, в достаточно малой окрестности которой <math>f(z)=f(p)+f'(p)(z-p)+o(z-p)</math>.

Но интеграл по очень близкому прямоугольнику первых двух слагаемых равен нулю, а интеграл последнего слишком мал. Противоречие доказывает теорему.

Прочее

Ограниченным обращением теоремы Коши является теорема Мореры. Обобщением теоремы Коши на случай многомерного комплексного пространства является теорема Коши — Пуанкаре.

См. также

• Теорема Коши — Пуанкаре

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Шаблон:М: Наука. — 1969, 577 стр.