Русская Википедия:Калибровочная симметрия (математика)
В математике любая лагранжева система допускает калибровочные симметрии, возможно, тривиальные. В теоретической физике понятие калибровочной симметрии, зависящей от параметров, являющихся функциями координат, является краеугольным камнем современной теории поля.
Калибровочная симметрия лагранжиана <math>L</math> определяется как дифференциальный оператор на некотором векторном расслоении <math>E</math>, принимающий значения в линейном пространстве (вариационных или точных) симметрий <math>L</math>. Поэтому калибровочная симметрия лагранжиана <math>L</math> зависит от сечений расслоения <math>E</math> и их частных производных. Например, это случай калибровочных симметрий в классической теории поля, например, в калибровочной теории Янга — Миллса и калибровочной теории гравитации. Калибровочные симметрии обладают следующими двумя важными особенностями.
Во-первых, будучи лагранжевой симметрией, калибровочная симметрия лагранжевой системы удовлетворяет первой теореме Нётер, но соответствующий сохраняющийся ток симметрии <math>J^\mu</math> принимает вид
- <math>J^\mu=W^\mu + d_\nu U^{\nu\mu}</math>,
где первое слагаемое <math> W^\mu</math> обращается в ноль на решениях уравнения Эйлера — Лагранжа, а второе слагаемое сводится к дивергенции, где <math> U^{\nu\mu}</math> называется суперпотенциалом.
Во-вторых, в соответствии со второй теоремой Нётер имеет место взаимно однозначное соответствие между калибровочными симметриями лагранжиана и тождествами Нётер, которым подчиняется оператор Эйлера - Лагранжа. Таким образом, калибровочные симметрии характеризуют вырожденность лагранжевой системы.
См. также
- Лагранжева система
- Тождества Нётер
- Калибровочная инвариантность
- Теория Янга — Миллса
- Калибровочная теория гравитации
Литература
- Daniel, M., Viallet, C., The geometric setting of gauge symmetries of the Yang–Mills type, Rev. Mod. Phys. 52 (1980) 175.
- Eguchi, T., Gilkey, P., Hanson, A., Gravitation, gauge theories and differential geometry, Phys. Rep. 66 (1980) 213.
- Marathe, K., Martucci, G., The Mathematical Foundation of Gauge Theories (North Holland, 1992) ISBN 0-444-89708-9.
- Gomis, J., Paris, J., Samuel, S., Antibracket, antifields and gauge theory quantization, Phys. Rep. 295 (1995) 1; arXiv: hep-th/9412228.
- Giachetta, G. (2008), Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory, J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv: 0807.3003.
- Giachetta, G. (2009), Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009).
