Русская Википедия:Квадрат (алгебра)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:SquareChart.svg

График y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25

Квадра́т числа <math>x</math> — результат умножения числа на себя: <math>x \cdot x</math>. Обозначение: <math>x^2</math>.

Вычисление <math>x^2</math> — математическая операция, называемая возведе́нием в квадра́т. Эта операция представляет собой частный случай возведения в степень, а именно — возведение числа <math>x</math> в степень 2.

Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (Шаблон:OEIS):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, …

Исторически натуральные числа из этой последовательности называли «квадратными».

Способы представления

Квадрат натурального числа <math>n</math> можно представить в виде суммы первых <math>n</math> нечетных чисел:

1: <math>1 = 1</math>

2: <math>4 = 1 + 3</math>

…

7: <math>49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13</math>

…

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
<math>n^2 = 1 + 1 + 2 + 2 + \ldots + (n - 1) + (n - 1) + n</math>
Пример:

1: <math>1 = 1</math>

2: <math>4 = 1 + 1 + 2 </math>

…

4: <math>16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4</math>

…

Сумма квадратов первых <math>n</math> натуральных чисел вычисляется по формуле:
<math>\sum_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}</math> Шаблон:Вывод

Квадрат комплексного числа

Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:

<math>\left(a+bi\right)^2 = \left(a^2 - b^2\right) + 2abi.</math>

Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:

<math>\left(r\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\right)^2 = r^2\left(\cos{2\phi}+i\sin{2\phi}\right).</math>

Геометрический смысл

Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.

Литература

• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.

См. также

• Извлечение квадратного корня — обратная операция по отношению к возведению в квадрат.
• Квадратное число
• Куб числа
• Обобщение на более высокие степени на Вольфраме Шаблон:Wayback.