Русская Википедия:Квазитрохоидальная траектория
Квазитрохоида́льная траекто́рия — сложная траектория какого-либо объекта, имеющего поступательные и вращательные составляющие движения. Подобная траектория именуется квазитрохоидальной, поскольку на малом участке её возможно приблизить трохоидальной кривой.
Примером квазитрохоидальной траектории является траектория летательного аппарата перемещающегося в пространстве и вращающегося вокруг своей оси, траектория заряженной частицы в неоднородном и нестационарном электромагнитном поле, траектория вихревого образования в атмосфере и в жидкости, и т. п.
Анализ и сопровождение
В случае жесткого тела, ограничиваются рассмотрением траектории движения лишь одной принадлежащей ему точки, принятой за реперную. При рассмотрении движения слабо связанных, но имеющих однообразное движение объектов, к примеру, атмосферных завихренностей, рассматривают совокупность реперных точек, наиболее приближающих заданный процесс, и разбитых на группы, например, по степени удалённости от центра вращения. Основная задача при сопровождении рассматриваемых объектов заключается в оценке параметров траектории для выявления их внутренних свойств, и прогнозировании дальнейшего движения.
Получение
Обычно траектории получают проецированием трёхмерных координат на плоскость. Двумерные координаты объекта возможно получить двумя способами. При первом способе, входные двумерные координаты привязываются к временным отсчётам, обычно эквидистантным, что существенно упрощает последующие вычисления. Одной из принципиальных особенностей является возможное отсутствие каких-либо измеренных координат в определённые моменты времени, из-за нестабильности наблюдения или действия помех. Примером являются отсчёты координат, полученные РЛС либо оптико-электронной системой, выдающей видеоизображение. Во втором способе используется уже имеющаяся совокупность двумерных координат за какое-то определённое, обычно достаточно большое время, в случаях, когда отсутствует связь измеренных координат с моментами времени измерений.
Модель
В параметрическом виде модель измеренного двумерного сигнала (квазитрохоидальной траектории) представляется в виде уравнений:
<math> \left\{\begin{matrix} x(t)=x_c(t)+R(t)\cos(\theta(t))+n_x(t)\\ y(t)=y_c(t)+R(t)\sin(\theta(t))+n_y(t) \end{matrix}\right. </math> (1)
где: <math> x_c(t), y_c(t)</math> — координаты поступательной составляющей (центра вращения); <math>R(t)</math> — радиус вращения; <math>\theta(t)</math> — фаза вращения; <math>d\theta/dt=\omega(t)</math> — угловая частота вращения; <math>n_x(t), n_y(t)</math> — шумы измерения и действующие помехи; и т. д. Нестационарные параметры <math>x_c(t), y_c(t), R(t), \theta(t)</math> сигнала (1) в общем случае могут изменяться совершенно произвольно.
Для упрощения используется комплексная ф орма записи параметрических уравнений (1). Полагая <math>z(t)=x(t)+iy(t)</math>, можно записать:
<math>z(t)=z_c(t)+R(t)\exp \left( i\theta(t) \right)+n_z(t)</math> (2)
В простейшем случае, при прямолинейном движении центра вращения, при постоянной частоте вращения и отсутствии шумов, будем иметь параметрические уравнения классической двумерной кривой — трохоиды:
<math> \left\{\begin{matrix} x(t)=x_0+v_xt+R\cos(\omega t+\theta_0)\\ y(t)=y_0+v_yt+R\sin(\omega t+\theta_0) \end{matrix}\right. </math> (3)
где: <math> x_0, y_0 </math> — координаты начального положения центра вращения; <math> v_x, v_y </math> — проекции скорости центра вращения; <math> \omega </math> — циклическая частота вращения; <math> \theta_0 </math> — начальная фаза вращения.
Для более сложного случая используют следующую модель, имеющую одну составляющую вращения:
<math> z(t)= \sum_{p=0}^{P-1}c_pt^p + \left( \sum_{q=0}^{Q-1}R_qt^q \right) \exp \left(i \sum_{m=0}^{M-1}\theta_mt^m \right) </math> (4)
В общем случае, вращательных составляющих может быть произвольное количество. Применительно к реальным объектам, подлежащим распознаванию и сопровождению, например ЛА, обычно бывает достаточно всего двух гармонических членов. Первый отвечает за основное вращение по углу крена, тогда как второй отражает наличие какой-либо дополнительной составляющей второго порядка малости. Подобной гармоникой может быть описано, к примеру, явление флаттера — высокочастотного колебания вращающейся консоли стабилизатора или крыла ЛА. В этом случае одну из моделей можно представить как:
<math> z(t)= \sum_{p=0}^{P-1}c_pt^p + \sum_{g=0}^{G-1} \left( \left( \sum_{q=0}^{Q-1}R_{qg}t^q \right) \exp\left(i \sum_{m=0}^{M-1}\theta_{mg}t^m \right) \right) </math>
или
<math> z(t)= \sum_{p=0}^{P-1} \left( R_p \exp \left( \alpha_p t \right ) \right ) + \sum_{m=0}^{M-1} \exp\left( i \omega_m t + \theta_m \right) </math>
где: <math> G </math> — количество вращательных составляющих;
Для слежения за объектами необходимо выделение составляющих параметров траектории, таких как: координаты центра вращения, частоты вращения, текущей фаза вращения, радиуса вращения. По этим параметрам возможно решение задачи распознавания объекта, прогнозирования движения в случае пропадания координат, формирования модельной сглаженной траектории и др. Также, процесс измерения координат подвержен воздействию пассивных и активных помех, в результате действия которых появляются ошибки в измерениях, либо отсутствие достоверных измеренных координат.
Литература
- Савёлов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. М.: Изд. Физматлит, 1960
- Karamov S.V. Modified Prony Method for Tracking Trochoidal trajectories // 8th International conference «Pattern Recognition and Image Analyses: New Information Technologies» Yoshkar-Ola, 2007. — Vol. 1. — P. 310—313.
- Карамов С. В. Методы идентификации параметров трохоидальной траектории летательного аппарата // VI Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления». Труды. -М.: ИПУ РАН, 2007, -С. 293—323.
- Карамов С. В. Методы сопровождения объектов имеющих квазитрохоидальные траектории // 10-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и её применение» г. Москва, 2008 г. Т.2, 659-662C.
Ссылки
