Русская Википедия:Керальская школа астрономии и математики
Шаблон:TOCright Кера́льская школа астрономии и математики — научная школа, которая существовала в Индии в XIV—XVII веках и внесла заметный вклад в астрономию и математику.
История
После завоевания мусульманами северной Индии в XI веке (Махмуд Газневи) центр научной деятельности индийцев переместился в южную провинцию Керала. Основателем школы стал Мадхава из Сангамаграмы. Среди других видных учёных керальской школы:
Последними представителями школы были в XVII веке Ачьюта Пишарати и Нараяна Бхаттатири. Свои результаты керальцы публиковали в трактатах (сиддхантах) на санскрите, излагая их чаще всего без доказательств, нередко стихами.
Преимущественным направлением исследований в Керале была астрономия, но при решении астрономических задач были сделаны важные математические открытия. В частности, опередив европейских математиков на два века, учёные школы получили разложение тригонометрических функций в бесконечные степенные рядыШаблон:Sfn. В Европе их достижения долго оставались неизвестными и были обнаружены историками только в XIX веке[1].
Научные достижения
Астрономия
Астрономы Керальской школы с высокой точностью измерили величину предварения равноденствий, а также продолжительность года, лунного месяца и других астрономических констант.
В 1500 году Нилаканта Сомаяджи в своей «Тантрасанграхе» предложил модификацию системы мира, ранее описанной Ариабхатой. В своей Ариабхатавахьязе, комментариях к Ариабхатье, он предложил модель, где планеты Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн обращаются вокруг Солнца, а оно, в свою очередь, вокруг Земли[2]. Эта гео-гелиоцентрическая система напоминает предложенную Тихо Браге в конце XVI века. Большинство астрономов Керальской школы приняли его модель.
Математика
Керальская школа, как и вся индийская математика, имела заметный вычислительный уклон. Например, учёные постоянно работали над вычислением числа <math>\pi</math> со всё возрастающей точностью. Для астрономических вычислений им удалось впервые найти разложение тригонометрических и иных функций в бесконечные ряды. Общей теории таких разложений и дальнейшего продвижения в направлении математического анализа у керальцев не было.
Бесконечные ряды приводятся в четырёх керальских сиддхантах[3]:
- «Научный справочник» (Тантрасанграха), опубликован Нилакантой.
- «Техника действий» (Каранападдхати).
- «Нить светящихся жемчужин» (Садратанамала).
- «Объяснительный комментарий» (Юкти-бхаша), это комментарий к «Тантрасанграхе».
Кроме тригонометрических функций, в сиддхантах приводится разложение алгебраической дроби, впрочем, известное ещё Ибн аль-Хайсаму (XI век)[4][5]:
- <math> \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots ,</math> если <math>|x|<1 </math>
Разложения керальцами тригонометрических функций, вероятно, были получены ещё Мадхавой, но появились впервые в трактате Нилаканты «Тантрасанграха» и в современных обозначениях имели вид[1][6]:
- <math>r \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1}\cdot\frac{ry}{x} -\frac{1}{3}\cdot\frac{ry^3}{x^3} + \frac{1}{5}\cdot\frac{ry^5}{x^5} - \cdots ,</math> где <math>y \leqslant x.</math>
- <math>r\sin \frac{x}{r} = x - x\cdot\frac{x^2}{(2^2+2)r^2} + x\cdot \frac{x^2}{(2^2+2)r^2}\cdot\frac{x^2}{(4^2+4)r^2} - \cdot </math>
- <math> r\left(1 - \cos \frac{x}{r}\right) = r\cdot \frac{x^2}{(2^2-2)r^2} - r\cdot \frac{x^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{x^2}{(4^2-4)r^2} + \cdots , </math>
При <math> r=1 </math> ряды упрощаются и принимают более распространённый вид:
- <math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots </math>
- <math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots </math>
Для получения этих формул было проведено спрямление дуги окружностиШаблон:Sfn[3]. В Европе ряд для арктангенса впервые опубликовал Джеймс Грегори в 1671 году, а ряды для синуса и косинуса — Исаак Ньютон в 1666 году..
Из ряда для арктангенса легко получить[1] ряд для вычисления числа <math>\pi</math>:
- <math>\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots </math>
Ряд этот сходится медленно, поэтому для практических расчётов его преобразуют к виду[1]:
- <math>\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3^3-3} - \frac{1}{5^3-5} + \frac{1}{7^3-7} - \cdots </math>
Как подсчитал Нилаканта, <math>\pi\approx 3{,}141592653.</math> Керальцы получили также из этих рядов довольно точные приближения числа <math>\pi</math> в виде дробей.
Из других математических достижений керальской школы можно упомянуть, что Нилаканта уверенно заявил о несоизмеримости длины окружности с её диаметром, то есть, выражаясь современным языком, что число <math>\pi</math> иррационально[3].
См. также
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. Либроком, 2009, 184 с. (Физико-математическое наследие: математика). ISBN 978-5-397-00474-9.
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
Ссылки
- The Kerala School, European Mathematics and Navigation, 2001.
- An overview of Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
- Indian Mathematics: Redressing the balance, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
- Keralese mathematics, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
- Possible transmission of Keralese mathematics to Europe, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
- "Indians predated Newton 'discovery' by 250 years" phys.org, 2007
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Roy, Ranjan. 1990. Discovery of the Series Formula for <math> \pi </math> by Leibniz, Gregory, and Nilakantha. Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 63(5):291-306.
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ 3,0 3,1 3,2 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокPAPL
не указан текст - ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Edwards, C. H., Jr. 1979. The Historical Development of the Calculus. New York: Springer-Verlag.
- ↑ Bressoud, David. Was Calculus Invented in India? The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). 33(1):2-13, 2002.