Русская Википедия:Кинематика твёрдого тела

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Кинема́тика твёрдого тела (от Шаблон:Lang-grc — движение) — раздел кинематики, изучающий движение абсолютно твёрдого тела (системы материальных точек с неизменными расстояниями), не вдаваясь в вызывающие его причины. В силу относительности движения, обязательно указание системы отсчёта, относительно которой описывается движение.

Описание движения

Особенность твёрдого тела позволяет ввести связанную с ним ортонормированную систему координат <math>(\vec e_\xi, \vec e_\eta, \vec e_\zeta)</math> с центром в точке <math>S</math> (произвольной точке, связанной с этим телом). Тогда в абсолютной ортонормированной системе <math>Oxyz,\,(\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z)</math>, координату произвольной точки твёрдого тела можно выразить:

<math>\vec r(t) = \vec r_S(t) + \xi \vec e_\xi(t) + \eta \vec e_\eta(t) + \zeta \vec e_\zeta(t)</math>, причём т.к. тело абсолютно твёрдое: <math>\dot\xi=\dot\eta=\dot\zeta=0</math>, но <math>\dot\vec e_i\ne 0\,(i=\xi,\eta,\zeta)</math>.

Пусть <math>\begin{pmatrix} \vec e_\xi\\ \vec e_\eta \\ \vec e_\zeta \end{pmatrix}=\hat A\begin{pmatrix} \vec e_x\\ \vec e_y \\ \vec e_z \end{pmatrix}</math>. В частности, преобразование можно задать с помощью углов Эйлера.

Так как базисы ортонормированы, <math>\hat A</math> ортогональна, вследствие чего <math>\hat A \hat A^T = E</math>.

Скорость произвольной точки тела тогда:

<math>\vec v(t) = \vec v_S(t) + (\xi,\eta,\zeta)\begin{pmatrix}

\dot\vec e_\xi\\ \dot\vec e_\eta\\ \dot\vec e_\zeta \end{pmatrix}= \vec v_S(t) + (\xi,\eta,\zeta)\dot\hat A\begin{pmatrix} \vec e_x\\ \vec e_y\\ \vec e_z \end{pmatrix}=\vec v_S(t) + (\xi,\eta,\zeta)\dot\hat A\hat A^T\begin{pmatrix} \vec e_\xi\\ \vec e_\eta\\ \vec e_\zeta \end{pmatrix}</math>

Дифференцирование <math>\hat A \hat A^T = E</math> приводит <math>\dot\hat A \hat A^T = - \hat A \dot\hat A^T</math>, что означает антисимметричность <math>\dot\hat A \hat A^T=\hat\Omega</math>, которую можно записать

<math>\hat\Omega = \begin{pmatrix}

0 & \omega_\zeta & -\omega_\eta\\ -\omega_\zeta & 0 & \omega_\xi\\ \omega_\eta & -\omega_\xi & 0

\end{pmatrix}</math> 

Обозначения мотивированы введением <math>\vec\omega = \omega_\xi \vec e_\xi + \omega_\eta \vec e_\eta + \omega_\zeta \vec e_\zeta</math> (вектора угловой скорости). Тогда:

<math>\begin{cases}

\dot \vec e_\xi = \omega_\zeta \vec e_\eta - \omega_\eta \vec e_\zeta = [\vec\omega\times \vec e_\xi],\\ \dot \vec e_\eta = -\omega_\zeta \vec e_\xi + \omega_\xi \vec e_\zeta = [\vec\omega\times \vec e_\eta],\\ \dot \vec e_\zeta = \omega_\eta \vec e_\xi - \omega_\xi \vec e_\eta = [\vec\omega\times \vec e_\zeta]; \end{cases}</math>

Полученные выражения иначе называют формулами Пуассона.

Формула Эйлера

Формула Эйлера фиксирует связь между скоростями различных точек <math>A,B</math> твёрдого тела:

<math>\vec v_{B}=\vec v_A+[\vec\omega\times\overrightarrow{AB}]</math>

Шаблон:Начало скрытого блока <math>\begin{cases} \vec v_A = \vec v_S + (\xi_A,\eta_A,\zeta_A)\Omega\begin{pmatrix} \vec e_\xi\\ \vec e_\eta\\ \vec e_\zeta \end{pmatrix},\\ \vec v_B = \vec v_S + (\xi_B,\eta_B,\zeta_B)\Omega\begin{pmatrix} \vec e_\xi\\ \vec e_\eta\\ \vec e_\zeta \end{pmatrix};\\ \end{cases}\;\Rightarrow\; \vec v_{B}-\vec v_{A}=(\xi_B-\xi_A,\eta_B-\eta_A,\zeta_B-\zeta_A)\Omega\begin{pmatrix} \vec e_\xi\\ \vec e_\eta\\ \vec e_\zeta \end{pmatrix}\;\Leftrightarrow\; \vec v_{B}=\vec v_A+[\vec\omega\times\overrightarrow{AB}]</math> Шаблон:Конец скрытого блока

• Если <math>\vec v_A = \vec v_B</math>, то <math>\vec \omega \parallel \overrightarrow{AB}</math>.
• <math>\vec \omega</math> инвариантен по отношению к выбору подвижной системы координат.
• Вектор угловой скорости связан с полем скоростей точек тела <math>\vec \omega = \frac{1}{2}\nabla\times \vec v</math>.

Формула Ривальса

Формула Ривальса связывает ускорения различных точек <math>A,B</math> твёрдого тела.

Для <math>\vec\varepsilon=\dot\vec\omega</math> (вектора углового ускорения), с учётом того, что <math>\dot\overrightarrow{AB}=[\vec\omega\times\overrightarrow{AB}]</math>, дифференцирование формулы Эйлера приводит к:

<math>\vec a_B=\vec a_A + [\vec\varepsilon\times\overrightarrow{AB}]+\big[\vec\omega\times[\vec\omega\times{\overrightarrow{AB}}]\big]</math>

Последний член в формуле Ривальса определяет осестремительное ускорение.

Сложное движение

Для случаев затруднительного описания движения твёрдого тела относительно неподвижной СО, вводятся формулы сложного движения (т.е. описывающие движение относительно подвижной СО).

Для абсолютной системы отсчёта <math>Oxyz, (\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z)</math> и подвижной <math>P\xi\eta\zeta\,(\vec e_\xi,\vec e_\eta,\vec e_\zeta)</math>.

<math>\vec r_{S/O}=\vec r_{S/P} + \vec r_{P/O}</math>

Радиус-вектор к точке <math>S</math> в абсолютной СО равен сумме относительного радиус-вектора и переносного

Формула сложения скоростей

Дифференцирование по времени формулы для радиус-вектора приводит к формуле сложения скоростей

<math>\vec v_{S/O} = \vec v_{P/O} + \vec v_{S/P} + [\vec \omega\times\overrightarrow{PS} ]</math>, где <math>\vec\omega </math> — угловая скорость вращения подвижной СО.

• <math>\vec v_{S/O}</math> — абсолютная скорость точки <math>S</math>,
• <math>\vec v_{S/P}=\dot\xi\vec e_\xi + \dot\eta\vec e_\eta + \dot\zeta \vec e_\zeta</math> — относительная скорость,
• Слагаемое же <math>\vec v_{P/O}+[\vec \omega\times\overrightarrow{PS} ]</math> называют переносной скоростью, которая связана с изменением положения подвижной СО.

Формула сложения ускорений

Повторное дифференцирование даёт

<math>\vec a_{S/O} = \vec a_{P/O} + \vec a_{S/P} + [\vec \varepsilon\times\overrightarrow{PS} ] + \big[\vec\omega\times[\vec \omega\times\overrightarrow{PS} ]\big] + 2[\vec\omega\times \vec v_{S/P}]</math>, где <math>\vec\varepsilon</math> — угловое ускорение подвижной СО.

• <math>\vec a_{S/O}</math> — абсолютное ускорение,
• <math>\vec a_{P/O}=\ddot\xi\vec e_\xi + \ddot \eta\vec e_\eta +\ddot\zeta\vec e_\zeta</math> — относительное ускорение,
• <math>\vec a_{S/P} + [\vec \varepsilon\times\overrightarrow{PS} ] + \big[\vec\omega\times[\vec \omega\times\overrightarrow{PS} ]\big]</math> — переносное ускорение,
• <math>2[\vec\omega\times \vec v_{S/P}]</math> — кориолисово ускорение.

Сложение угловых скоростей

Запись формулы Эйлера в подвижной СО, вращающейся с угловой скоростью <math>\vec \omega_{P/O}</math> (само тело здесь вращается с <math>\vec\omega_{S/P}</math>) приводит к:

<math>\vec v_{B/O} = \vec v_{A/O} + [\vec \omega_{S/P} \times \overrightarrow{AB} ] + [\vec \omega_{P/O}\times \overrightarrow{AB} ]</math>, что верно для произвольного выбора точек <math>A,B</math>, откуда

<math>\vec\omega_{S/O}=\vec\omega_{P/O}+\vec\omega_{S/P}</math>

Иначе, абсолютная угловая скорость равна сумме относительной и переносной.

Качественный анализ возможных движений

• Мгновенно-винтовое движение, характеризуемое тем, что найдётся <math>l\parallel \vec\omega</math> (мгновенно-винтовая ось), такая что для всякой точки <math>S\in l: \vec v_S\parallel l</math>. В каждый момент времени всякое движение можно представить мгновенно-винтовым.
• Мгновенно-поступательное движение характеризуется тем, что <math>\vec\omega = 0</math>, в таком случае скорости всех точек тела одинаковы (в данное мгновение).
• Мгновенно-вращательное движение, частный случай мгновенно-винтового, т.е. найдётся <math>l</math> такая что все точки на ней неподвижны. Прямая <math>l</math> в таком случае — мгновенная ось вращения.
• Плоско-параллельное движение осуществляется, если каждая точка тела движется параллельно неподвижной плоскости (пусть <math>Oxy</math>), тогда <math>\vec\omega \perp Oxy</math>. По аналогии с мгновенно-винтовой осью, для плоско-параллельного движения можно выбрать мгновенный центр скоростей — мгновенно-неподвижную точку <math>C</math>. Положение <math>C</math> меняется как в неподвижной, так и в подвижной (связанной с телом) системах координат. Для геометрического места точек мгновенного центра скоростей в неподвижной СО употребляют термин неподвижная центроида, тогда как в подвижной СО, соответственно, подвижная центроида.
• Вращение вокруг неподвижной точки. По формуле Эйлера, если <math>O</math> неподвижна, то неподвижна и <math>l=O\omega</math> (мгновенная ось вращения). Геометрическое место осей вращения называют неподвижной и подвижной аксоидами (в зависимости от рассматриваемой СО)

Кинематические формулы Эйлера

В случае, если переход к подвижной СО выполнен с помощью углов Эйлера, справедливы следующие формулы для компонент угловой скорости:

<math>\omega_\xi = \dot\varphi\sin\theta\sin\psi+\dot\theta\cos\psi</math>

<math>\omega_\eta = \dot\varphi\sin\theta\cos\psi - \dot\theta\sin\psi</math>

<math>\omega_\zeta = \dot\psi+\dot\varphi\cos\theta

</math>

<math>\psi </math> — угол прецессии, <math>\theta </math> — угол нутации, <math>\varphi </math> — угол собственного вращения.

См. также

• Кинематика сплошной среды
• Механика твёрдого тела
• Кинематика точки

Литература

• Теоретическая механика/Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. — М., 2010.
• Общий курс физики Т.I. Механика/Сивухин Д.В. — М., 1979. — $7, с. 45-47