Русская Википедия:Конвей, Джон Хортон

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Однофамильцы Шаблон:Учёный

Джон Хо́ртон Ко́нвей (Шаблон:Lang-en; 26 декабря 1937 — 11 апреля 2020) — британский математик.

Известен в первую очередь как создатель игры «Жизнь». Однако его вклад в математику весьма многообразен и значителен. В теории групп он открыл группы Конвея и сформулировал гипотезу чудовищного вздора. Совместно с соавторами заложил основы комбинаторной теории игр, попутно открыв сюрреальные числа. Также внёс вклад в теорию узлов, теорию чисел. Многие работы Конвея лежат в области занимательной математики или близки к ней. В целом он был склонен исследовать красивые, наглядные объекты, такие как игры или многогранники, не заботясь о том, какое значение это имеет с точки зрения фундаментальной или прикладной науки.

Родился в Ливерпуле, Великобритания. Окончил Кембриджский университет, получил там же степень PhD в 1964 году и остался там же преподавать. На рубеже 1960—70-х годов стал известен как в профессиональном сообществе (благодаря группам Конвея), так и среди широкой публики (благодаря игре «Жизнь»). С 1986 года работал в Принстонском университете, США. Был ярким лектором; помимо преподавания в университетах, читал лекции и писал статьи о математике для школьников и широкой публики.

Биография

Семья, учёба

Отец Джона Хортона Конвея, Сирил, не окончил школу, но активно занимался самообразованием. У Сирила Конвея и его жены Агнес Бойс было трое детей: Джоан, Сильвия и младший Джон, родившийся в 1937 году в Ливерпуле[1]. Джон унаследовал от отца страсть к чтению и любовь к эффектным демонстрациямШаблон:Sfn.

Джон Конвей был довольно замкнутым ребёнком, увлечённым математикойШаблон:Sfn. Идею своей нотации для узловШаблон:Переход он задумал ещё подросткомШаблон:Sfn.

Шаблон:Внешние медиафайлы В 1956 году поступил в колледж Гонвилл-энд-Киз Кембриджского университета, причём решил вести себя там как экстраверт[2]. И действительно, в Кембридже он завёл друзей, вовлекался в разнообразную околоучебную и общественную деятельность. В частности, там он познакомился с Майклом Гаем, сыном математика Ричарда Гая; Майкл Гай стал лучшим другом Конвея и его соавтором по нескольким работамШаблон:Переход. Помимо прочего, в Кембридже Конвей с друзьями построили цифровой компьютер, работавший на водяных трубах и клапанах. Он проводил много времени за всевозможными играми и, в частности, играл с Абрамом Самойловичем Безиковичем в карточную игру «Свои козыри» в особой модификации Безиковича. Академическая успеваемость Конвея поначалу была на высоте, но затем ухудшилась[3].

В 1961 году женился на Эйлин Фрэнсис Хау[3]. У Эйлин образование в области иностранных языков: французский и итальянский[4]. У Джона и Эйлин родились четыре дочери в 1962—1968 годах: Сьюзан, Роуз, Елена и Энн-Луиза[1].

Начало научной и преподавательской карьеры

Файл:Cambridge - Gonville and Caius College - 1048.jpg
Библиотека колледжа Гонвилл-энд-Киз

Окончив колледж со степенью бакалавра в 1959 году[5], Джон Конвей стал аспирантом Гарольда Дэвенпорта. Тот сперва предложил для диссертации не слишком интересную задачу из области теории чисел о представлении целого числа в виде суммы пятых степеней. Конвей решил задачу, но не опубликовал эту свою работу. Позже решение опубликовал другой человек[3]. Конвей в итоге получил степень PhD в 1964 году, защитив диссертацию об одной немного более интересной, но тоже достаточно малозначительной задаче об ординалахШаблон:Sfn.

Конвей получил позицию там же, в колледже Гонвилл-энд-Киз, на кафедре чистой математики. Он читал лекции, и они пользовались большой популярностью благодаря ярким и наглядным объяснениям, практически цирковым трюкам и импровизациям. У него часто не было плана и текста собственных лекций. Его студент Эндрю Гласс сделал подробный, упорядоченный конспект его лекций по абстрактным автоматам; этот конспект просили скопировать многие студенты, а потом и сам лектор, и спустя несколько лет этот конспект превратился в первую книгу Конвея, Regular algebra and finite machinesШаблон:Sfn.

Файл:Sprouts-2spot-game.png
Короткая партия в рассаду: своим ходом каждый игрок соединяет две точки линией и ставит на ней новую точку, из точки исходит не более трёх линий; кто не может сделать ход — проигрывает.

Шаблон:Внешние медиафайлы Конвей много играл в математические игры с коллегами и студентами и регулярно придумывал их. Так, со студентом Майклом Патерсоном они изобрели топологическую игру рассада, которая немедленно приобрела на кафедре тотальную популярность. Конвей стал переписываться с Мартином Гарднером: об играх, включая рассаду, а также об алгоритме для решения разновидности задачи о справедливом дележе (открытом им независимо от более раннего решения Джона Селфриджа[6]). Кроме того, Конвей пытался визуально представить четырёхмерное пространство, и для этого он тренировал бинокулярное зрение с вертикальным параллаксом вместо горизонтального с помощью специального устройства. В этот же период он с коллегами исследовал последовательность «Посмотри-и-скажи»; как нередко случалось с его результатами, некоторые доказательства были неоднократно утеряны, найдены заново и в итоге опубликованы гораздо позже[4].

В целом в период после защиты диссертации жизнь Конвея шла приятно и беззаботно. Но он не занимался «серьёзной» математической работой, и это его угнетало[4].

Приход славы

Конец 1960-х и 1970-й годы выдались исключительно продуктивными для Конвея (он именовал этот период annus mirabilis[7]): он нашёл три новые спорадические группы, названные его именем, придумал правила игры «Жизнь» и построил сюрреальные числа.

Группы Конвея

В 1960-е годы активно шла работа по классификации простых конечных групп. Стало понятно, что может быть не открыто ещё несколько спорадических групп — простых конечных групп, не вписывающихся в общую классификацию. В это же время математик Шаблон:Нп5 нашёл чрезвычайно симметричную решётку, названную его именем, и он предположил, что в её группе симметрии может содержаться новая спорадическая группа. Британский математик Джон Маккей рассказал об этой задаче многим коллегам, в том числе математикам из Кембриджа Джону Томпсону и Джону Конвею. Томпсон уже тогда был признанным корифеем теории групп (и чрезвычайно заняты́м человеком), Конвей же лишь обладал некоторыми знаниями в этой области. Томпсон предложил Конвею вычислить порядок группы симметрии решётки Лича. Тот решил взяться за эту задачу и приготовился заниматься ею по 6—12 часов дважды в неделю в течение нескольких месяцевШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В первый назначенный день исследования решётки Лича Конвей, по его словам, «поцеловал жену и детей на прощанье» и принялся за работу. И уже к вечеру этого дня он смог не только вычислить порядок группы, но и построить её и найти содержащиеся в ней три новые спорадические группы[8]Шаблон:Переход. За этим последовали дискуссии с Томпсоном, публикация результатов в статье 1968 года, путешествия по конференциям и семинарам по всему миру с докладами о найденных группах. С этого момента Джон Конвей смог больше не беспокоиться о том, достаточно ли серьёзной математикой он занимается[9].

Игра «Жизнь»

Шаблон:Внешние медиафайлы Конвей интересовался темой клеточных автоматов и, в частности, автоматом фон Неймана ещё с детства. Он поставил целью придумать как можно более простой клеточный автомат с нетривиальным, непредсказуемым поведением, надеясь, что в таком случае он будет тьюринг-полным. Команда энтузиастов (Конвей, его коллеги и студенты) занималась перебором бесчисленных вариаций правил в поисках подходящих. Их усилия были вознаграждены, когда они придумали то, что стало известно как игра «Жизнь»Шаблон:Переход. Конвей изложил основные сведения об игре «Жизнь», которые удалось выяснить, в письме к Мартину Гарднеру 1970 года. Тот написал об игре «Жизнь» в своей колонке в журнале Scientific American, и эта заметка стала самой популярной из всех, вышедших в этой колонке. Игра «Жизнь» получила тысячи поклонников по всей Америке и за её пределами, а её изобретатель приобрёл известность среди широкой публикиШаблон:Sfn.

Вскоре Конвей доказал тьюринг-полноту игры «Жизнь» (доказательство не было опубликовано). После этого он практически потерял интерес к этой теме. Он был недоволен тем, насколько игра «Жизнь» более известна, чем другие его работы, и не слишком любил о ней рассказывать — кроме как отдельным интересующимся детямШаблон:Sfn[10].

Сюрреальные числа и книги об играх

Годы изобретения и обдумывания игр не прошли даром. Ричард Гай развил теорию, описывающую широкий класс игр, и когда во второй половине 1960-х годов он и американский математик Элвин Берлекэмп задумали книгу об играх, они пригласили Конвея стать их соавтором[11]. Пока шла работа над книгой, получившей название Winning Ways for Your Mathematical Plays, Конвей продолжал исследовать игры и обнаружил, что позиции в так называемых пристрастных играх могут быть выражены числами, причём класс необходимых для этого чисел включает не только целые и действительные числа, но и некоторые новые числаШаблон:Переход. Дональд Кнут назвал эти числа сюрреальными. Конвей считал сюрреальные числа своим главным поводом для гордостиШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Хотя теория пристрастных игр вошла в Winning Ways, она получила там не очень подробное освещение, особенно в части, касающейся сюрреальных чисел. Об этих числах Конвей написал Гарднеру в том же письме 1970 года, в котором сообщил об игре «Жизнь», а позже, в 1976 году, он быстро написал и выпустил собственную книгу On Numbers and Games о пристрастных играх и сюрреальных числах. Когда он сообщил об этом Берлекэмпу, тот был крайне недоволен и едва не рассорился с кембриджским соавтором, и только Гай смог помирить их. Winning Ways в итоге была дописана только в 1981 году; на следующий год книга вышла и стала бестселлером (несмотря на отсутствие рекламы от издательства), так же как и On Numbers and Games до того[7][12].

Эти две книги об играх, как и многие другие работы Конвея, несут явственный отпечаток его любви к неортодоксальной терминологии и каламбурам[7]: так, например, числа с чётным и нечётным количеством единиц в двоичной записи именуются, соответственно, злыми и одиозными — Шаблон:Lang-en и odious, ср. с even и odd (Шаблон:Tr-en и «нечётные»)[13].

Работа над Атласом

Шаблон:Внешние медиафайлы В начале 1970-х годов Джон Конвей задумал составить справочник по конечным группам. Эту будущую книгу назвали «Атласом конечных групп» — Atlas of the Finite Groups. В проекте приняли участие аспиранты Конвея Роберт Кёртис, Саймон Нортон и Роберт Уилсон, а также Ричард Паркер. Они собрали и перепроверили множество данных по конечным группам и в итоге приняли решение включить в Атлас в первую очередь таблицы характеров. Работа растянулась на много лет[JHC 1]Шаблон:Sfn.

В 1970-е годы сообщество продолжало очень активно разрабатывать классификацию простых конечных групп, и Конвей продолжал работать над спорадическими группами. В частности, он поучаствовал в определении размера монстра (и придумал это название для группы). К 1978 году другими специалистами по теории групп были вычислены таблицы характеров монстра (построена эта группа, однако, ещё не была). И в этот момент Джон Маккей заметил, что размерность одного из представлений монстра, 196883, лишь на единицу отличается от линейного коэффициента фурье-разложения j-инварианта — одной модулярной функции, равного 196884. Конвей и Нортон собрали это и другие наблюдения от разных авторов и сформулировали гипотезу о глубокой связи между модулярными функциями и конечными группами, назвав её «гипотезой чудовищного вздора»Шаблон:Ref+ — Шаблон:Lang-en: прилагательное отсылает к монстру, а moonshine переводится не только как «вздор», но также как «самогон» и «лунный свет»; все эти смыслы означают, что гипотеза неожиданная, сбивающая с толку, удивительная и ускользающая[14].

Кроме того, тогда же, в середине 1970-х, Конвей занимался книгами об играхШаблон:Переход и мозаикой Пенроуза. В этот же период Гарднер показал ему заметку Льюиса Кэрролла в Nature 1887 года с описанием алгоритма для быстрого определения дня недели, на который приходится заданная дата, и предложил придумать алгоритм, который был бы ещё проще для вычисления и запоминания. В результате Конвей составил алгоритм Судного дня, который стал его увлечением и одним из любимых трюков: он десятилетиями оттачивал алгоритм, мнемоники для его запоминания и свой собственный навык его использования[14].

Файл:Conway jh larissa queen.jpg
Джон Конвей и Лариса Куин

В конце 1970-х годов Конвей расстался с Эйлин и встретил Ларису Куин. Лариса приехала из Волгограда (СССР)[15] и была его аспиранткой[16], занималась исследованием гипотезы чудовищного вздора; она получила степень PhD в Кембридже в 1981 году[17]. Джон и Лариса поженились в 1983 году, когда у них родился сын Алекс (на кафедре его прозвали малым монстром в честь группы). В 1983 году Конвей получил должность полного профессора. В первой половине 1980-х годов аспирантом Конвея стал Ричард Борчердс, который позже доказал гипотезу чудовищого вздораШаблон:Sfn.

Между тем в 1984 году Атлас наконец был завершён. Ещё год ушёл на подготовку его к печати. Его публикация стала долгожданным событием для работавших в области теории групп математиков по всему миру[18][JHC 1].

Принстон

1986—1987 учебный год Джон Конвей провёл в Принстонском университете (США), временно занимая по приглашению тогдашнего главы кафедры математики Элиаса Стайна только что учреждённую[19] позицию Фоннеймановского профессора прикладной и вычислительной математики. Конвею было предложено остаться на этой должности на постоянной основе. Он сильно колебался, но в итоге мнение жены, бо́льшая зарплата, уход из Кембриджа многих коллег-математиков и общее желание перемен склонили его принять предложение[18].

Файл:William Thurston.jpg
Уильям Тёрстон

В Принстоне Конвей тоже прославился харизмой и эксцентричностью. Преподавание поначалу шло не слишком успешно: ему предлагали скучную и бессодержательную тему для курса лекций, а когда он сам решил прочитать курс лекций о монстре, оказалось, что этот курс не пользовался большой популярностью среди студентов, но привлёк в аудиторию некоторых профессоров, что мешало. Но дела пошли на лад, когда он стал сотрудничать со знаменитым топологом Уильямом Тёрстоном. Конвей и Тёрстон придумали курс «Геометрия и воображение», к ним присоединились преподаватели Питер Дойл и Джейн Гилман. На лекциях этого курса царила живая атмосфера, в качестве наглядных иллюстраций математических концепций использовались фонарики, велосипеды, LEGO и Конвеев живот. Кроме того, Тёрстон познакомил Конвея со своей идеей орбифолдного подхода к группам симметрии двумерного пространства, который тот затем развилШаблон:Переход. В целом в Принстоне Конвей стал больше педагогом, чем исследователемШаблон:Sfn.

Файл:Neil Sloane.jpg
Нил Слоун

Время от времени Конвей, рассказывая на различных выступлениях о тех или иных интересных нерешённых задачах, предлагал денежные призы за их решение. Размер приза соответствовал предполагаемой сложности задачи, и обычно он был сравнительно небольшой. Конвей дружил с Нилом Слоуном, автором «Энциклопедии целочисленных последовательностей», и неудивительно, что многие из этих задач были связаны с целочисленными последовательностями. В 1988 году произошла история с последовательностью, которая теперь известна как 10000-долларовая последовательность Хофштадтера — Конвея. Конвей намеревался предложить 1000 долларов за доказательство определённого утверждения об асимптотическом поведении последовательности, но, оговорившись, назвал в 10 раз большую сумму — весьма существенную для своего бюджета; при этом задача оказалась легче, чем предполагалось, и уже через две недели статистик Колин Мэллоуз решил её (с несущественной ошибкой, как позже оказалось). Узнав об оговорке Конвея, Мэллоуз отказался обналичивать присланный им чек, Конвей же настаивал на принятии приза; договорились они в итоге на 1000 долларов[20].

Шаблон:Внешние медиафайлы В 1988 году в семье Джона и Ларисы родился сын Оливер (впоследствии оба их сына стали заниматься точными науками, следуя по стопам родителей). В 1992 году они пережили тяжёлый развод. Следствием этого для Конвея стали финансовые трудности и недостаток общения с сыновьями. У него случился инфаркт, на следующий год — ещё один. На фоне этих проблем предпринял попытку самоубийства, устроив себе передозировку лекарств. Восстановиться после этого физически и психологически ему помогли друзья, в первую очередь Нил Слоун[20].

Поздние годы

Конвей и его третья жена, Диана Катсоуджордж[16], впервые встретились в 1996 году; она тогда работала в университетском книжном магазине[21]. Они поженились в 2001 году (и мирно разошлись через несколько лет, впоследствии активно общалисьШаблон:Sfn), тогда же у них родился сын Гарет[1].

Конвей регулярно читал публичные популярные лекции на разнообразные темы, связанные с математикой, и с 1998 года преподавал в математических лагерях для школьников, таких как Canada/USA Mathcamp[22]Шаблон:Sfn.

Шаблон:Внешние медиафайлы В 2004 году Конвей и канадский математик Саймон Кошен доказали так называемую теорему о свободе волиШаблон:Переход; ещё некоторое время заняла подготовка публикации, и затем в течение нескольких лет соавторы теоремы развивали свой результат и обсуждали его с сообществом[2].

Конвей ушёл на должность эмерит-профессора в 2013 году[5]. В первые годы после формальной отставки он продолжил работать едва ли не активнее, чем до неё — выступать на конференциях, выпускать новые работы, преподавать в математических лагерях для школьников[2]Шаблон:Sfn. В 2018 году он пережил обширный инсульт[23]. Скончался в Нью-Брансуике 11 апреля 2020 года в возрасте 82 лет от осложнений на фоне коронавирусной инфекции COVID-19[21].

Личность

Файл:John Conway browses Genius at Play.jpg
Конвей листает собственную биографию

По свидетельствам людей, знавших Конвея, он был харизматичным и дружелюбным, при этом обладал значительным самомнением, что сам охотно признавалШаблон:Sfn. Рассказывая о себе, нередко противоречил своим и чужим словам[24]. Бытовыми сторонами жизни он пренебрегал, исключительно небрежно относился к полученным письмам и другим документам[25]. Хотя в целом вёл себя расслабленно, в периоды исследования математической задачи он работал много, интенсивно и дотошно[7]. Математика была единственным интересом Конвея, при этом математические аспекты он замечал везде — не только в играх, но и в, казалось бы, бытовых предметах[18]. С юности проявлял пацифистские взгляды[3], подписывал разнообразные политические петиции[9], хотя и не участвовал в политике активно. Был любвеобилен, не соблюдал верность своим жёнам, что и становилось одной из важных причин, по которой они расставались с ним[7]. АтеистШаблон:Sfn.

Научный вклад

Джон Хортон Конвей говорил, что не проработал ни дня в своей жизни, а лишь всегда играл в игры[25].

Теория групп и близкие области

Конвей был склонен подходить к исследованиям математических объектов, в том числе групп, с геометрической точки зрения, визуально представляя себе связанные с ними симметрииШаблон:Sfn, и вообще очень ценил наглядность и красоту математических теорий[18]. Кроме того, он предпочитал необычные частные случаи общим. Эти особенности стиля и склонностей Конвея ярко проявились в его работах по теории групп[26].

Спорадические группы

Файл:SporadicGroups.svg
Иерархия спорадических групп

Одно из самых важных достижений Конвея — исследование группы автоморфизмов решётки Лича Co0. Он нашёл, что эта группа имеет порядок 8 315 553 613 086 720 000 и включает три новые спорадические группы Co1, Co2, Co3 (их простота была впервые показана Джоном Томпсоном; Co0 включает и некоторые другие спорадические группы, открытые незадолго до тогоШаблон:Sfn): Co1 — факторгруппа Co0 по её центру, единственным нетривиальным элементом которого является домножение на −1, Co2 и Co3 — подгруппы Co0, стабилизаторы определённых векторов решётки. Эти группы вместе называют группами КонвеяШаблон:Sfn[JHC 2][JHC 3].

Он исследовал и другие спорадические группы. В частности, вместе с Дэвидом Уэльсом впервые разработал построение группы Рудвалиса RuШаблон:Sfn[JHC 4]. Также вместе с различными соавторами упростил построение различных групп, которые были построены или предсказаны другими авторами, например, ввёл построение группы Фишера Fi22 через 77-мерное представление над полем из трёх элементовШаблон:Sfn.

Чудовищный вздор

Особенное значение имеет работа Конвея над монстром, проделанная в период, когда существование этой группы ещё не было доказано, но о её свойствах уже было многое известно.

Джон Маккей и другие авторы сделали ряд наблюдений о структуре монстра и некоторых других групп и определённых численных совпадениях, в частности, о том, что коэффициенты фурье-разложения модулярной функции j-инварианта представляются простыми линейными комбинациями размерностей представлений монстра. Джон Томпсон предложил рассмотреть степенные ряды с коэффициентами, являющимися характерами представлений монстра, вычисленными для различных его элементов. Конвей и Саймон Нортон развили эти наблюдения, построили такие функции (ряды Маккея — Томпсона) и обнаружили, что они похожи на модулярные функции особого вида, известные как Шаблон:Lang-de. Они сформулировали гипотезу, что каждый ряд Маккея — Томпсона действительно соответствует определённому Hauptmodul, что подразумевало глубокую и загадочную связь между спорадическими группами и модулярными функциями. Эта гипотеза получила название «гипотеза чудовищного вздора» — Шаблон:Lang-en[27][JHC 5].

Гипотезу Конвея и Нортона доказал Ричард Борчердс с помощью алгебр вершинных операторов. Однако сам Конвей и другие специалисты считали, что работа Борчердса хотя и формально доказывает гипотезу, но не объясняет её. Обнаруженные связи между алгебраическими объектами, такими как группы, и понятиями, связанными с модулярными функциями, были затем развиты и обобщены. Кроме того, оказалось, что эти связи могут быть сформулированы естественным образом на языке конформных теорий поля. Все вместе эти наблюдения, гипотезы и теоремы называют просто «вздор» — moonshine. В этой области ещё много открытых задач и неотвеченных вопросовШаблон:Sfn[28].

Решётки

Помимо конечных групп, Конвей исследовал также решётки и упаковки сфер, а также близкую тему кодов коррекции ошибок[JHC 6]. В частности, он разработал новое построение для той же решётки ЛичаШаблон:Sfn. Конвей и Нил Слоун изложили свои результаты и большое количество справочной информации в своей книге Sphere Packings, Lattices, and GroupsШаблон:Переход.

Орбифолды, многогранники и замощения

Файл:Tiling p6m.svg
Замощение плоскости, группа симметрии которого имеет орбифолдное обозначение *632

Решётки, в свою очередь, связаны с темой кристаллографических групп и замощений.

В этой области важное достижение Конвея — популяризация и развитие придуманного Уильямом Тёрстоном подхода к изучению периодических групп симметрии евклидова, сферического и гиперболического пространств. Этот подход имеет топологическую природу и основан на орбифолдах[20]. Орбифолд — это топологическое пространство, снабжённое определённой структурой, связанной с действием на него заданной конечной группы. Двумерные параболические орбифолды (те, у которых аналог эйлеровой характеристики равен нулю) напрямую соответствуют двумерным кристаллографическим группам[29]. На этом основана придуманная Конвеем и достаточно широко распространившаяся Шаблон:Нп5 для этих и других подобных групп[30][JHC 7]. Орбифолды связаны и с чудовищным вздором[31].

Известен критерий Конвея для плиток, замощающих плоскость.

Тема замощений сферы непосредственно связана с многогранниками. Конвей придумал нотацию для многогранников[32] — ещё один пример его большой любви к изобретению и переизобретению названий и нотаций[20]. Кроме того, Конвей и Майкл Гай перечислили все четырёхмерные архимедовы тела и открыли Шаблон:Нп5 — единственный невитхоффов однородный политоп[3][5][JHC 8].

Атлас

Конвей известен как руководитель группы, собравшей «Атлас конечных групп» — грандиозный справочник, содержащий таблицы характеров конечных групп (не только спорадических) и ставший ценным инструментом для математиков, работавших с конечными группами в эпоху до развития интернета[14]. Сейчас Атлас существует в виде интернет-энциклопедии, сделанной командой под руководством Роберта Уилсона[33].

Комбинаторная теория игр

Вклад Конвея в комбинаторную теорию игр — одно из самых известных его достижений[5].

Файл:Hackenbush girl.svg
Игра хакенбуш: один игрок перерезает синие рёбра графа, другой — красные; фрагменты графа, отсоединённые от основания, исчезают целиком; проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Конвей изобрёл множество игр, в том числе, например, рассаду (Шаблон:Lang-en, совместно с Майклом Патерсоном), фатбол и Шаблон:Нп5. Ричард Гай, в свою очередь, развил систематическую теорию беспристрастных игр (Шаблон:Lang-en) на основе функции Шпрага — Гранди. Конвей же, основываясь на идее сложения игр, смог заложить теорию для более широкого класса игр — Шаблон:Нп5 (Шаблон:Lang-en) — игр, в которых в одной и той же позиции разным игрокам доступны разные ходы (например, в шахматах или го каждый игрок может ходить только фигурами или камнями своего цвета). Гай, Конвей и Элвин Берлекэмп изложили общую теорию, результаты по многим конкретным играм и различные открытые задачи (такие как Задача об Ангеле и Дьяволе) в книге Winning Ways for Your Mathematical Plays[7][12].

Исследуя пристрастные игры и включив в рассмотрение трансфинитные игры, Конвей обнаружил, что для описания позиций в таких играх нужен новый класс чисел, включающий и целые, и действительные числа, и ординалы (например, <math>\omega</math> и <math>\omega+1</math>), и другие, новые числа (например, <math>\omega-1</math>, <math>1/\omega</math> и <math>\sqrt{\omega}</math>), которые строятся при помощи конструкции, похожей на дедекиндово сечение. Эти числа получили название сюрреальных. Результаты своих исследований пристрастных игр и сюрреальных чисел Конвей подробно изложил в книге On Numbers And Games. Книги Winning Ways и On Numbers And Games вместе заложили основу комбинаторной теории игр как организованной и плодотворной математической дисциплины[7][12].

Сюрреальные числа привлекают многих своим разнообразием и естественностью. Однако применений за пределами комбинаторной теории игр им практически не нашлось, хотя в этом направлении предпринимались определённые усилия. Так, сам Конвей (безуспешно) обсуждал с Гёделем возможность использования сюрреальных чисел для построения «правильной теории бесконечно малых», а Мартин Крускал вложил много сил в развитие сюрреального анализа в надежде использовать его в теоретической физике[7][20].

Добавим ещё, что Конвей — один из открывателей алгоритма Селфриджа — Конвея для решения разновидности задачи о справедливом дележе для трёх участников, которая относится к более широкой области — теории игр[6].

Клеточные автоматы

Файл:Gospers glider gun.gif
Глайдерная пушка в игре «Жизнь»

Джон Конвей придумал игру «Жизнь» — известный клеточный автомат. Он определён на поле, замощённом квадратами. Каждая клетка поля в каждый момент (дискретного) времени считается живой либо мёртвой, причём на следующем временно́м шаге состояние клетки определяется следующими правилами, зависящими от состояния её восьми клеток-соседей на текущем шаге[25]:

  • если клетка была живой, то она остаётся живой, если у неё было ровно 2 или 3 живых соседа;
  • если клетка была мёртвой, то она становится живой, если у неё было ровно 3 живых соседа.

Игра «Жизнь» не является игрой в обычном смысле, в ней нет состязающихся игроков, «игра» состоит лишь в подборе начальной конфигурации клеток и наблюдении за их развитием[25].

Конвей подобрал правила игры «Жизнь» так, что начальные конфигурации даже из небольшого количества клеток развиваются зачастую совершенно непредсказуемо. Как затем оказалось, на поле игры «Жизнь» могут существовать неподвижные, стабильно перемещающиеся, стабильно размножающиеся конфигурации, логические вентили, позволяющие реализовать в ней произвольное вычисление (полнота по Тьюрингу), и многие другие нетривиальные конструкции. Возможно множество вариантов и обобщений игры «Жизнь»Шаблон:Sfn.

Появление игры «Жизнь» привело к огромному росту интереса к клеточным автоматам[25]. Клеточные автоматы, подобные игре «Жизнь», стали инструментом моделирования природных процессов[34][35], способом генерации красивых изображений[36] и популярным упражнением по программированию[37].

Вокруг игры «Жизнь» сразу сложилось сообщество энтузиастов-исследователей[38]. Такое сообщество существует и сейчас, обмениваясь информацией о новых открытиях на сайте ConwayLife.com[39].

Среди клеточных автоматов несколько другого типа, придуманных в непосредственном окружении Конвея, можно также отметить червей Патерсона[40].

Теория чисел

Конвей изобрёл тьюринг-полный эзотерический язык программирования FRACTRAN. Программа на этом языке представляет собой упорядоченный набор обыкновенных дробей и стартовое целое число. Чтобы выполнить программу, нужно последовательно умножать имеющееся целое число на первую такую дробь из набора, что в результате вновь получается целое число (тем самым возникающие целые числа формируют последовательность), до тех пор, пока это возможно[JHC 9]. Так, Конвей приводит программу для генерации простых чисел:

<math>\left( \frac{17}{91}, \frac{78}{85}, \frac{19}{51}, \frac{23}{38}, \frac{29}{33}, \frac{77}{29}, \frac{95}{23}, \frac{77}{19}, \frac{1}{17}, \frac{11}{13}, \frac{13}{11}, \frac{15}{2}, \frac{1}{7}, \frac{55}{1} \right)</math>

При стартовом числе 2 в последовательности, получающейся при выполнении программы, будут время от времени возникать другие степени двойки, и показатели этих степеней образуют в точности последовательность простых чисел[41].

Используя FRACTRAN, он показал, что некоторые аналоги гипотезы Коллатца неразрешимы[42][JHC 10].

Прямое отношение к тематике решёток, которой Конвей тоже занимался, имеют целочисленные квадратичные формы. О них он вместе со своим студентом Уильямом Шнибергером сформулировал Шаблон:Нп5, согласно которым:

  • положительно определённая квадратичная форма с целочисленной матрицей представляет все натуральные числа тогда и только тогда, когда она представляет все натуральные числа, меньшие либо равные 15;
  • положительно определённая квадратичная форма с целочисленными значениями представляет все натуральные числа тогда и только тогда, когда она представляет все натуральные числа, меньшие либо равные 290.

Эти утверждения родственны теореме Лагранжа о сумме четырёх квадратов (как и несостоявшаяся первая диссертация КонвеяШаблон:Переход). Конвей и Шнибергер доказали первое утверждение, но доказательство было сложным, и было опубликовано лишь в виде наброска в диссертации Шнибергера. Впоследствии Манджул Бхаргава упростил доказательство первой теоремы, обобщил её и доказал вторую теорему совместно с Дж. Ханке[43][JHC 11].

Конвей придумал стрелочные обозначения для очень больших чисел[5].

Также он проанализировал последовательность «Посмотри-и-скажи»: составил таблицу отдельно эволюционирующих «элементов» членов последовательности и получил универсальный множитель, на который в среднем увеличивается длина члена последовательности независимо от начальной строки цифр. Этот множитель называют постоянной Конвея, и он представляет собой алгебраическое число 71-й степени[4][JHC 12].

Теория узлов

Файл:RationalTangle 2 1 3.svg
Поэтапное создание плетения — одного из ключевых объектов нотации Конвея для узлов

Развив идеи Шаблон:Нп5, Конвей разработал нотацию для узлов и зацеплений, основанную на вставке определённых Шаблон:Не переведено 5 в вершины некоторых 4-регулярных планарных графов. Это позволило ему быстро и легко воспроизвести существовавшие таблицы узлов с небольшим числом пересечений и исправить большинство из ошибок этих таблиц[44][45][JHC 13].

Кроме того, он разработал свой вариант многочлена Александера — полиномиального инварианта узлов — и обратил внимание на важность скейн-соотношений, которые затем стали распространённым удобным способом определения полиномиальных инвариантов узлов[46].

Конвей нашёл названный в честь него узел с 11 пересечениями, примечательный тем, что некоторые вопросы теории узлов применительно к нему оказываются особенно сложными[47].

Квантовая механика

Совместно с Саймоном Кошеном Конвей доказал теорему о свободе воли. Теорема опирается на несколько базовых постулатов квантовой теории. Согласно теореме, если у экспериментаторов есть свобода воли, то она есть и у элементарных частиц. Под намеренно провокационным термином «свобода воли» понимается спонтанное поведение, которое принципиально не определяется заранее. Тем самым теорема отвергает теории скрытых параметров и детерминизм. Многие физики сочли, что теорема не привносит ничего существенно нового, но в философии она вызвала заметное обсуждениеШаблон:Sfn[48][JHC 14].

Занимательная математика

Конвей тратил значительное время на занятия, которые многие сочли бы бесполезной тратой усилий[25]. Возможно, самый характерный пример — изобретённый им алгоритм Судного дня для определения дня недели для заданной даты. Конвей потратил очень много времени как на упрощение алгоритма, так и на тренировку своего навыка его использования[14][49]. Он интересовался и хорошо изученными областями, в которых трудно получить новый результат, такими как геометрия треугольника — так, он упростил доказательство теоремы Морли[20]. Не чуждался и головоломок — известна головоломка Конвея. Изучение разнообразных числовых последовательностей тоже зачастую ближе к занимательной математике, чем к реальной науке — хотя, к примеру, результаты о последовательностях типа фигурирующей в гипотезе Коллатца действительно нетривиальны и представляют общий интерес, это едва ли можно сказать о таких исследованных Конвеем известных последовательностях, как RATS и subprime Fibonacci[50]. Интересы Конвея простирались и в такие темы, как еврейский календарь и этимология необычных английских слов[5]. Разграничить глубокую научную работу и легкомысленные развлечения в деятельности Конвея зачастую невозможно[51]. Довольно запутан в этом отношении и статус некоторых его известных работ, упомянутых выше (это связано и с тем, что его самого этот вопрос не заботил): комбинаторная теория игр изначально воспринималась в основном как развлечение и лишь со временем приобрела более веский статус[12], а клеточные автоматы значительная часть научного сообщества всегда воспринимала как область занимательной математики без какого-либо глубокого теоретического значения[52].

Научное руководство

Степень PhD под руководством Конвея получили более двух десятков аспирантов, включая будущего филдсовского лауреата Ричарда Борчердса[53].

Признание

Файл:Gateknot.jpg
Узел Конвея на воротах Института Исаака Ньютона в Кембридже[54]

В 2015 году вышла биография Конвея — книга Шивон Робертс «Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway» (Шаблон:Sfn0)[10][61].

Библиография

Библиография Конвея включает около 100 статей в научных журналах, несколько десятков статей в научно-популярных изданиях и трудах конференций и 9 книг. Список публикаций в научных математических изданиях за всё время и список публикаций во всех научных изданиях приблизительно с начала 1970-х годов имеются в базах данных zbMATH и Scopus, соответственно. Полный список публикаций за период до 1999 года доступен на сайте Принстонского университета[62]. Избранная библиография приведена в книге Шаблон:Sfn0.

Книги

Некоторые статьи

Избранные статьи Конвея опубликованы на русском языке в сборнике «Человек, который играл в математику». Шаблон:Примечания

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

О Конвее

Математическая литература

Внешние ссылки

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 Шаблон:MacTutor Biography
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Roberts1 не указан текст
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Roberts3 не указан текст
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Roberts5 не указан текст
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 Шаблон:Cite web
  6. ↑ 6,0 6,1 Шаблон:Публикация
  7. ↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Roberts10 не указан текст
  8. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок TMThompson не указан текст
  9. ↑ 9,0 9,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Roberts6 не указан текст
  10. ↑ 10,0 10,1 Шаблон:Публикация
  11. ↑ Шаблон:Публикация
  12. ↑ 12,0 12,1 12,2 12,3 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Siegel не указан текст
  13. ↑ Шаблон:Публикация
  14. ↑ 14,0 14,1 14,2 14,3 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Roberts11 не указан текст
  15. ↑ Шаблон:Публикация
  16. ↑ 16,0 16,1 Шаблон:Cite web
  17. ↑ Шаблон:Cite web
  18. ↑ 18,0 18,1 18,2 18,3 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Roberts12 не указан текст
  19. ↑ Шаблон:Cite web
  20. ↑ 20,0 20,1 20,2 20,3 20,4 20,5 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Roberts14 не указан текст
  21. ↑ 21,0 21,1 Шаблон:Cite web
  22. ↑ Шаблон:Cite web
  23. ↑ Шаблон:Cite web
  24. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Roberts2 не указан текст
  25. ↑ 25,0 25,1 25,2 25,3 25,4 25,5 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок RobertsPrologue не указан текст
  26. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Roberts15 не указан текст
  27. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Ronan17 не указан текст
  28. ↑ Шаблон:Публикация
  29. ↑ Шаблон:Публикация
  30. ↑ Шаблон:Публикация
  31. ↑ Шаблон:Публикация
  32. ↑ Шаблон:Cite web
  33. ↑ Шаблон:Cite web
  34. ↑ Шаблон:Публикация
  35. ↑ Шаблон:Публикация
  36. ↑ Шаблон:Публикация
  37. ↑ Шаблон:Публикация
  38. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Roberts9 не указан текст
  39. ↑ Шаблон:Публикация
  40. ↑ Шаблон:MathWorld
  41. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Roberts8 не указан текст
  42. ↑ Шаблон:MathWorld
  43. ↑ Шаблон:Публикация
  44. ↑ Шаблон:Публикация
  45. ↑ Шаблон:Публикация
  46. ↑ Шаблон:Публикация
  47. ↑ Шаблон:Cite web
  48. ↑ Шаблон:Публикация
  49. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Roberts13 не указан текст
  50. ↑ Шаблон:Публикация
  51. ↑ Шаблон:Публикация
  52. ↑ Шаблон:Публикация
  53. ↑ Шаблон:MathGenealogy
  54. ↑ Шаблон:Cite web
  55. ↑ 55,0 55,1 Шаблон:Cite web
  56. ↑ Шаблон:Cite web
  57. ↑ Шаблон:Cite web
  58. ↑ Шаблон:Cite web
  59. ↑ Шаблон:Cite web
  60. ↑ Шаблон:Cite web
  61. ↑ Шаблон:Cite web
  62. ↑ Шаблон:Cite web

Шаблон:Выбор языка Шаблон:Conway's Game of Life Шаблон:Избранная статья

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное


Ошибка цитирования Для существующих тегов <ref> группы «JHC» не найдено соответствующего тега <references group="JHC"/>

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Конвей,_Джон_Хортон&oldid=10156606