Русская Википедия:Конвективная производная
Конвекти́вная произво́дная от векторной либо скалярной функции в точке <math>\vec{r}</math> в момент времени t определяет изменение параметров данной функции в <math>\vec{r}</math> в момент t при конвекции (движении среды с определенной скоростью <math>\vec{u}(\vec{r},t)</math>). Является одним из слагаемых производной Лагранжа (субстанциональной производной) и может быть найдена путём действия оператора <math>(\vec{u}\cdot\nabla)</math> на скалярную либо векторную функцию (тут <math>\nabla</math> — оператор набла).
В общем случае материальная производная имеет вид:
- <math>\frac{\mathcal{D}\mathbf{A}}{\mathcal{D}t}=\frac{D\mathbf{A}}{Dt}-\left(\mathbf{A}\cdot\left(\nabla\otimes\mathbf{v}\right)\right)-\left(\left(\nabla\otimes\mathbf{v}\right)\cdot \mathbf{A}\right)+\alpha_1 \left(\operatorname{Sym}\left(\nabla\otimes\mathbf{v}\right)\cdot \mathbf{A}\right)+\alpha_2\left(\mathbf{A}\cdot \operatorname{Sym}\left(\nabla\otimes\mathbf{v}\right)\right)+\alpha_3\cdot\mathbf{A}\cdot\operatorname{Tr}\left(\nabla\otimes\mathbf{v}\right)</math>
- или в индексной записи:
- <math>\frac{\mathcal{D}A_{ij}}{\mathcal{D}t}=\frac{DA_{ij}}{Dt}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}+\alpha_1\cdot v_{(i,k)}\cdot A_{kj}+\alpha_2\cdot A_{ik}\cdot v_{(k,j)}+\alpha_3\cdot{A}_{ij}\cdot v_{k,k}</math>
где <math>\frac{DA_{ij}}{Dt} = \frac{\partial A_{ij}}{\partial t} + v_k\cdot\frac{\partial A_{ij}}{\partial x_k}</math> — обычная производная Лагранжа;
- <math>\nabla\otimes\mathbf{v}</math> или <math>v_{i,j} =\frac{\partial v_{i}}{\partial x_j}</math> — производные по координатам;
- <math>\operatorname{Sym}\left(\nabla\otimes\mathbf{v}\right)=\frac1{2}\left(\left(\nabla\otimes\mathbf{v}\right)+\left(\nabla\otimes\mathbf{v}\right)^\mathrm{T}\right)</math> или <math>v_{(i,j)} =\frac1{2}\left(v_{i,j}+v_{j,i}\right)</math> — симметрирование тензора;
- <math>\operatorname{Alt}\left(\nabla\otimes\mathbf{v}\right)=\frac1{2}\left(\left(\nabla\otimes\mathbf{v}\right)-\left(\nabla\otimes\mathbf{v}\right)^\mathrm{T}\right)</math> или <math>v_{[i,j]} =\frac1{2}\left(v_{i,j}-v_{j,i}\right)</math> — альтернирование тензора.
Виды:
- Шаблон:Не переведено 3 (производная Олдройда) — <math>\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0</math>
- <math>\stackrel{~\triangledown}{A}_{ij}=\frac{DA_{ij}}{Dt}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}</math>
- Нижняя конвективная производная (производная Коттера — Ривлина) — <math>\alpha_1=\alpha_2=4, \alpha_3=0</math>
- <math>\stackrel{~\vartriangle}{A}_{ij}=\frac{DA_{ij}}{Dt}+A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i,k}\cdot A_{kj}</math>
- Правая конвективная производная — <math>\alpha_1=\alpha_2=2, \alpha_3=0</math>
- <math>\stackrel{~\triangleleft}{A}_{ij}=\frac{DA_{ij}}{Dt}-A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i,k}\cdot A_{kj}</math>
- Левая конвективная производная — <math>\alpha_1=\alpha_3=0, \alpha_2=2</math>
- <math>\stackrel{~\triangleright}{A}_{ij}=\frac{DA_{ij}}{Dt}+A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}</math>
- Вращательная производная (производная Яумана, Яумана — Зарембы — Нолла) — <math>\alpha_1=\alpha_2=-1, \alpha_3=0</math>
- <math>\stackrel{~\circ}{A}_{ij}=\frac{DA_{ij}}{Dt}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}=\frac1{2}\left(\stackrel{~\triangledown}{A}_{ij}+\stackrel{~\vartriangle}{A}_{ij}\right)</math>
- Производная Трусделла — <math>\alpha_1=\alpha_2=0, \alpha_3=1</math>
- <math>\stackrel{~\blacktriangledown}{A}_{ij}=\frac{DA_{ij}}{Dt}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}=\stackrel{~\triangledown}{A}_{ij}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}</math>
- Производная Хилла — <math>\alpha_1=\alpha_2=-1, \alpha_3=1</math>
- <math>\stackrel{~\bullet}{A}_{ij}=\frac{DA_{ij}}{Dt}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}=\stackrel{~\circ}{A}_{ij}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}</math>
Различные виды конвективной производной используются для моделирования неньютоновских жидкостей, см., например, жидкость Максвелла.
Ссылки
