Русская Википедия:Круг сходимости

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Круг сходимости степенного ряда <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n</math> — это круг вида

<math>D=\{z: |z-z_0| <R \}</math>, <math>z\in\mathbb C</math>,

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при <math>|z-z_0|>R</math>, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда <math>R = 0</math>, и может совпадать со всей плоскостью переменного <math>z</math>, когда <math>R = \infty</math>.

Радиус сходимости

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

<math> {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, |a_n|^{1/n}</math>

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Теорема Островского — Адамара

Для степенного ряда

<math>f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k</math>,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов <math>a_{k(i)}</math> удовлетворяет

<math>

\frac{k(i+1)}{k(i)} > 1 + \delta 

</math>

для некоторого фиксированного <math>\delta > 0</math>, круг с центром <math>z_0</math> и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

См. также

• Аналитическое продолжение