Русская Википедия:Крутильный маятник
Крути́льный ма́ятник (также торсио́нный ма́ятник, враща́тельный ма́ятник) — механическая система, представляющая собой тело, которое может вращаться вокруг одной оси, с упругим элементом и обладающее лишь одной степенью свободы: вращением вокруг этой оси, задаваемой подвесом. Если при повороте тела в упругом элементе возникает момент силы <math>M,</math> пропорциональный углу поворота <math>\varphi</math> с обратным знаком к углу поворота, <math>(M = -\kappa \varphi),</math> причём, если силы трения в системе малы, то тело может колебаться по гармоническому закону с периодом <math>T:</math>
- <math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}},</math>
- где <math>I</math> — момент инерции тела относительно оси кручения,
- <math>\kappa</math> — вращательный коэффициент жёсткости упругого элемента.
Крутильный маятник специальной конструкции представляет собой очень чувствительный к малым силам физический прибор. Именно с помощью крутильного маятника изучается, например, гравитационное взаимодействие тел в лаборатории и проверяется закон всемирного тяготения на субмиллиметровом масштабе.
Крутильным маятником является балансир — деталь спускового механизма механических часов, вращательные колебания которого задают темп ход часов и определяют точность их хода.
В 2005 году было опубликовано сообщение о создании крутильного маятника, торсионный подвес которого выполнен из одной молекулы — углеродной нанотрубке со стенкой толщиной в один атомный слой[1][2].
Крутильный маятник как гармонический осциллятор
| Обозначение | Размерность | Определение |
|---|---|---|
| <math>\theta</math> | рад | Угол отклонения от положения равновесия |
| <math>I</math> | кг·м2 | Момент инерции |
| <math>\sigma</math> | Дж·с·рад−1 | Коэффициент вязкого трения |
| <math>\kappa</math> | Н·м·рад−1 | Торсионная жёсткость подвеса |
| <math>\tau</math> | Н·м | Крутящий момент |
| <math>f_n</math> | Гц | Собственная частота колебаний маятника без трения |
| <math>T_n</math> | с | Период собственных колебаний маятника без трения |
| <math>\omega_n</math> | рад·с−1 | Собственная частота осциллятора без трения |
| <math>f</math> | Гц | Собственная частота колебаний маятника с трением |
| <math>\omega</math> | рад·с−1 | Круговая частота собственных колебаний с трением |
| <math>\alpha</math> | с−1 | Величина обратная постоянной времени затухания колебаний |
| <math>\varphi</math> | рад | Фаза колебаний |
| <math>L</math> | m | Расстояние от оси вращения до точки приложения силы |
Крутильные весы, крутильные маятники и балансиры часов по сути являются крутильными гармоническими осцилляторами, которые могут испытывать гармонические вращательные колебания вокруг оси торсионного упругого элемента. Математически такие системы аналогичны пружинным осцилляторам — грузикам с пружиной, закреплённой с одного конца. Общее дифференциальное уравнение движения крутильного осциллятора:
- <math>I\frac{d^2\theta}{dt^2} + \sigma \frac{d\theta}{dt} + \kappa\theta = \tau(t).</math>
Если степень затухания (демпфирования) небольшое, что математически означает <math>\sigma \ll \sqrt{\frac{\kappa}{I}},</math> частота колебаний крутильного осциллятора очень близка к собственной резонансной частоте системы <math>f_n:</math>
- <math>f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\kappa}{I}}.</math>
Выражение для периода колебаний:
- <math>T_n = \frac{1}{f_n} = \frac{2\pi}{\omega_n} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}}.</math>
Общее решение в случае отсутствия внешней вынуждающей силы, то есть <math>\tau(t) = 0</math> называется решением для переходного процесса:
- <math>\theta = Ae^{-\alpha t} \cos{(\omega t + \varphi)}~,</math>
- где <math>\alpha = \sigma/2I;~</math> <math>\omega = \sqrt{\omega_n^2 - \alpha^2} = \sqrt{\kappa/I - (\sigma/2I)^2}~.</math>
См. также
Примечания
