Русская Википедия:Кусочно-заданная функция
Кусо́чно-за́данная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на множестве вещественных чисел, которая задана отдельной формулой (или другим способом задания функции) на каждом из интервалов, составляющих область её определения.
Кусочно-аффинная функция - это числовая функция от одной переменной такая , что всю её область определения можно "разделить" на промежутки так , что на внутренности каждого из промежутков функция аффинная .
Формальное определение и задание
Пусть заданы <math>x_1<x_2<\ldots<x_n</math> — точки смены задания функции.
Кусочно-заданные функции обычно задают на каждом из интервалов <math>(-\infty; x_1), (x_1; x_2); \ldots (x_n;+\infty)</math> отдельно. Формально записывают это в виде:
<math> f(x)= \begin{cases}
f_0(x),\quad x<x_1\\ f_1(x),\quad x_1<x<x_2\\ \cdots\\ f_n(x),\quad x_n<x
\end{cases} </math>.
На некоторых из интервалов либо в некоторых точках в общем случае кусочно-заданная функция может быть не определена.
Виды кусочно-заданных функций
- Если все функции — постоянные, то <math>f(x)</math> — кусочно-постоянная функция.
- Если все функции <math>f_i(x)</math> являются линейными функциями, то <math>f(x)</math> — кусочно-линейная функция.
- Если все функции <math>f_i(x)</math> являются непрерывными функциями, то <math>f(x)</math> — кусочно-непрерывная функция. При этом сама она может не являться непрерывной.
- Если все функции <math>f_i(x)</math> являются дифференцируемыми функциями, то <math>f(x)</math> — кусочно-гладкая функция. При этом точки смены функций могут быть, а могут и не быть точками излома.
- Если все функции <math>f_i(x)</math> являются монотонными функциями, то <math>f(x)</math> — кусочно-монотонная функция. При этом на соседних интервалах знак первой производной может быть разный, то есть нарастающие или падающие функции.
Примеры часто используемых кусочно-заданных функций
- Абсолютная величина (модуль) <math>y=|x|</math>.
- Функция знака <math>y=\sgn(x)</math>.
- Функция Хевисайда <math>\theta(x)=\begin{cases} 0, & x<0;
\\ 1, & x\geqslant 0.\end{cases}</math>
