Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.
<math>(\ln f)' = \frac{f'}{f}</math>
Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функций, например сложно-показательных.
Применение
Производная степенно-показательной функции
Пусть <math>f(x)=u(x)^{g(x)}</math> (для краткости <math>f=u^{g}</math>, где u и g - функции).
Тогда <math>\ln f = \ln u^g =g\ln u</math>, <math>(\ln f)' = (g\ln u)'=g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u}</math>.
С другой стороны, <math>(\ln f)' = \frac{f'}{f}</math>, т.е. <math>f' = f\cdot(\ln f)'</math>.
Окончательно имеем <math>(u^g)' = u^g(g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u})</math>
Производная произведения функций
Пусть задана функция <math>f(x) = \prod^{n}_{i=1} g_i(x)</math> (для краткости <math>f = \prod^{n}_{i=1} g_i</math>).
Так как <math>f' = f\cdot(\ln f)'= \prod^{n}_{i=1} g_i (\ln \prod^{n}_{j=1} g_j)' = \prod^{n}_{i=1} g_i (\sum^{n}_{j=1} \ln g_j)' = \prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} (\ln g_j)'=\prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}</math>.
Окончательно получаем: <math>f' = (\prod^{n}_{i=1} g_i)'=\prod^{n}_{i=1} g_i \sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}=f\cdot\sum^{n}_{j=1} \frac{g_j'}{g_j}</math>.
Можно расписать формулу и прийти к другой форме:
- Если <math>f = g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n</math>, то <math>f' = g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n\cdot \left ( \frac{g_1'}{g_1}+\frac{g_2'}{g_2}+\ldots+\frac{g_n'}{g_n} \right )</math>
- Раскрыв скобки, получим: <math>f' = g_1'\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n + g_1\cdot g_2'\cdot \ldots\cdot g_n + \ldots + g_1\cdot g_2\cdot \ldots\cdot g_n'</math>
В частности, если <math>f=\frac{u_1^{\alpha_1}\cdot u_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot u_m^{\alpha_m}}{v_1^{\beta_1}\cdot v_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot v_n^{\beta_n}}</math>, то <math>f'=\frac{u_1^{\alpha_1}\cdot u_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot u_m^{\alpha_m}}{v_1^{\beta_1}\cdot v_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot v_n^{\beta_n}}\cdot \left( \alpha_1\cdot\frac{u_1'}{u_1}+\alpha_2\cdot\frac{u_2'}{u_2}+\ldots+\alpha_m\cdot\frac{u_m'}{u_m} - \beta_1\cdot\frac{v_1'}{v_1}-\beta_2\cdot\frac{v_2'}{v_2}-\ldots-\beta_n\cdot\frac{v_n'}{v_n} \right)</math>
Пример
Найдем производную, <math>\frac{df}{dx}</math> от функции <math>f(x) = x^x</math>:
- <math>\frac{df}{dx} = f(\ln f)' = x^x(x \ln x)' = x^x(\ln x + 1)</math>
См. также
Шаблон:Rq
Шаблон:Дифференциальное исчисление
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|