Русская Википедия:Логарифмический декремент колебаний

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Damped oscillation graph2.svg

Логарифм отношения амплитуд в точках, ограниченных периодом Шаблон:Math, равен логарифмическому декременту колебаний λ

Логарифми́ческий декреме́нт колеба́ний (декреме́нт затуха́ния; от Шаблон:Lang-la — «уменьшение, убыль») — безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колеблющейся величины Шаблон:Math в одну и ту же сторону:

<math> \lambda = \ln \frac{x_0}{x_1}. </math>

Логарифмический декремент колебаний равен коэффициенту затухания Шаблон:Math, умноженному на период колебаний Шаблон:Math:

<math> \lambda = \beta T .</math>

Этот параметр применяется, как правило, для линейных колебательных систем, поскольку в нелинейных системах период колебания, вообще говоря, зависит от амплитуды, а закон убывания амплитуды отличается от экспоненциального. В линейных системах колеблющаяся величина изменяется со временем как

<math> x(t) = Ae^{-\beta t}\cos \omega t,</math>

где Шаблон:Math — начальная амплитуда, Шаблон:Math — время, Шаблон:Math — циклическая частота колебания.

Обозначив Шаблон:Math, получаем отсюда, что отношение величин Шаблон:Math и Шаблон:Math равно

<math> X_k/X_{k+1} = \frac{e^{-\beta kT}}{e^{-(k+1) \beta T}}\cdot \frac{\cos (2\pi k)}{\cos (2\pi (k+1))} = e^{\beta T}.</math>

Логарифмический декремент равен показателю этой экспоненты:

<math>\lambda = \ln (X_k/X_{k+1}) = \ln e^{\beta T} = \beta T. </math>

Если энергия колебательной системы пропорциональна Шаблон:Math, то её добротность (относительная потеря энергии за время нарастания фазы на 1 радиан) равна

<math>Q = \frac{2\pi}{1 - e^{-2\lambda}}, </math>

а логарифмический декремент выражается через добротность как

<math>\lambda = -\frac{1}{2}\ln \left(1 - \frac{2\pi}{Q}\right).</math>

Для систем с высокой добротностью (т. е. со слабым затуханием) <math>\lambda \ll 1,</math> поэтому можно, разложив <math>e^{-\lambda}</math> в ряд Маклорена по Шаблон:Math, ограничиться первыми двумя членами и заменить в этих формулах <math>e^{-\lambda}</math> на <math>1 - \lambda,</math> что приводит к

<math>Q \approx \frac{\pi}{\lambda},\qquad \lambda \approx \frac{\pi}{Q}.</math>

Ссылки

• Книга:Физическая энциклопедия