Русская Википедия:Логарифмическое распределение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Определение

Пусть распределение случайной величины <math>Y</math> задаётся функцией вероятности:

<math>p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = -\frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p^k}{k},\; k=1,2,3,\ldots</math>,

где <math>0 <p < 1</math>. Тогда говорят, что <math>Y</math> имеет логарифмическое распределение с параметром <math>p</math>. Пишут: <math>Y \sim \mathrm{Log}(p)</math>.

Функция распределения случайной величины <math>Y</math> кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

<math>F_Y(y) = \left\{

\begin{matrix} 0, & y < 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in [k,k+1),\; & k=1,2,3,\ldots \end{matrix}\right.,</math> где <math>\mathrm{B}_p</math> — неполная бета-функция.

Замечание

То, что функция <math>p_Y(k)</math> действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

<math>\ln(1-p) = -\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{p^k}{k}; 0<p<1</math>,

откуда

<math>\sum\limits_{k=1}^{\infty}p_Y(k) = 1</math>.

Моменты

Производящая функция моментов случайной величины <math>Y \sim \mathrm{Log}(p)</math> задаётся формулой

<math>M_Y(t) = \frac{\ln\left[1 - p e^t\right]}{\ln[1-p]}</math>,

откуда

<math>\mathbb{E}[Y] = - \frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p}{1-p}</math>,

<math>\mathrm{D}[Y] = -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)}</math>.

Связь с другими распределениями

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть <math>\{X_i\}_{i=1}^n</math> последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что <math>X_i \sim \mathrm{Log}(p), \; i=1,2,\ldots</math>. Пусть <math>N \sim \mathrm{P}(\lambda)</math> — Пуассоновская случайная величина. Тогда

<math>Y = \sum\limits_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{NB}</math>.

Приложения

Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системеШаблон:Нет АИ.

Шаблон:Список вероятностных распределений