Русская Википедия:Мера Эрроу — Пратта

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Мера Эрроу — Пратта — применяемая в экономической теории мера неприятия риска.

Определение

Абсолютная мера неприятия риска Эрроу — Пратта определяется следующим образом:

<math>R_a=-\frac {u(x)}{u'(x)}=- \frac {d \ln MU(x)}{d x} </math>,

то есть равна производной логарифма предельной полезности по объёму потребления (с обратным знаком).

Относительная мера неприятия риска Эрроу — Пратта равна эластичности предельной полезности по объёму потребления (также с обратным знаком):

<math>R=- \frac {x u(x)}{u'(x)}=- \frac {d \ln MU(x)}{d \ln x}</math>

Теорема Пратта

Теорема Пратта утверждает эквивалентность следующих трёх способов ранжирования неприятия риска.

Первый способ — по мере Эрроу — Пратта — чем больше, тем больше степень неприятия риска.

Второй способ — потребитель 1 имеет большую степень неприятия риска, чем потребитель 2, если существует строго возрастающая строго вогнутая (выпуклая вверх) функция <math>G</math>, такая что <math>\forall x, u_1(x)=G(u(x))</math>, где <math>u_1(x),u_2(x)</math>- функции полезностей первого и второго потребителя соответственно.

Третий способ — неприятие риска тем больше, чем больше так называемое вознаграждение за риск <math>\pi(x)</math> (для всех <math>x</math>), определяемая как такая величина, что <math>Eu(x)=u(Ex-\pi(x))</math>, то есть величина <math>Ex-\pi(x)</math> является безрисковым эквивалентом <math>x</math>.

В теореме предполагается дважды непрерывная дифференцируемость функций полезности со стандартными условиями положительности первой производной (предельной полезности) и неположительности второй (невозрастание предельной полезности, то есть вогнутость или выпуклость вверх функций полезности).

Можно показать, что требуемое вознаграждение за риск в первом приближении выражается через меру Эрроу-Пратта <math>r(x)</math> следующим образом <math>\pi(x)=r(x)\sigma^2/2</math>, где <math>\sigma^2</math> — дисперсия лотереи.

Функции полезности постоянными мерами Эрроу — Пратта

Для функции с постоянной абсолютной мерой неприятия риска Эрроу — Пратта общий вид функции полезности следующий:

<math>u(x)=c_1-c_2e^{-\alpha x}</math>.

Параметр <math>c_1</math> здесь фактически определяет максимальную полезность, достигаемую асимптотически с ростом <math>x</math>.

Для функции с постоянной относительной мерой неприятия риска Эрроу — Пратта общий вид функции полезности следующий:

<math>u(x)=c_1+c_2\frac {x^{1-\theta}}{1-\theta}, \theta <>1</math>.

В частном (особом) случае единичной эластичности (<math>\theta=1</math>) функция полезности имеет вид:

<math>u(x)=c_1+c_2 \ln x</math>.