Русская Википедия:Метод Гаусса (определение орбиты)
Шаблон:Дзт Ме́тод Га́усса в небесной механике и астродинамике используется для первоначального определения параметров орбиты небесного тела по трём наблюдениям.
На практике для увеличения точности используется больше наблюдений, но в теории достаточно трёх. Кроме небесных координат объекта, необходимыми сведениями являются моменты наблюдений и земные координаты пунктов наблюдения.
История
В 1801 году была открыта Церера, но в течение некоторого времени её наблюдения были затруднены из-за близости к Солнцу, после чего было трудно снова найти её на небе. Карл Фридрих Гаусс поставил себе задачу определения её орбиты по имевшимся наблюдениям, за счёт чего и приобрёл мировую известность[1]. Однако описанный ниже метод годится только для определения орбит с фокусом в теле, с которого ведутся наблюдения, так что задача Гаусса была сложнее.
Вектор положения наблюдателя
Вектор положения наблюдателя (в экваториальной системе координат) можно вычислить, зная широту места наблюдения и местное звёздное время:
- <math>\mathbf{R_n} = \left [ {R_e \over \sqrt{1-(2f-f^2)\sin^2\phi_n}}+H_n \right ] \cos\phi_n(\cos\theta_n \ \mathbf{\hat{I}}+\sin\theta_n \ \mathbf{\hat{J}})+\left [ {R_e(1-f)^2 \over \sqrt{1-(2f-f^2)\sin^2\phi_n}}+H_n \right ] \sin\phi_n \ \mathbf{\hat{K}}</math>
или:
- <math>\mathbf{R_n} = R_e\cos\phi'_n\cos\theta_n \ \mathbf{\hat{I}}+R_e\cos\phi'_n\sin\theta_n \ \mathbf{\hat{J}}+R_e\sin\phi'_n \ \mathbf{\hat{K}},</math>
где:
- <math>\mathbf{R_n}</math> — вектор положения наблюдателя;
- <math>R_e</math> — экваториальный радиус тела, на котором находится наблюдатель;
- <math>f</math> — сплюснутость тела у полюсов (например, для Земли — 0.003353);
- <math>\phi_n</math> — геодезическая широта;
- <math>\phi'_n</math> — геоцентрическая широта;
- <math>H_n</math> — высота;
- <math>\theta_n</math> — местное звёздное время.
Вектор направления на объект
Вектор направления на объект может быть вычислен с помощью склонения и прямого восхождения:
- <math>\mathbf{\hat{\rho}_n} = \cos\delta_n\cos\alpha_n \ \mathbf{\hat{I}}+\cos\delta_n\sin\alpha_n \ \mathbf{\hat{J}}+\sin\delta_n \ \mathbf{\hat{K}}</math>,
где:
- <math>\mathbf{\hat{\rho}_n}</math> — единичный вектор направления на объект;
- <math>\delta_n</math> — склонение;
- <math>\alpha_n</math> — прямое восхождение.
Определение орбиты
Далее нужно получить вектор расстояния до объекта, а не только единичный вектор направления на него.
Шаг 1
Вычисляются интервалы между наблюдениями:
- <math>\tau_1 = t_1-t_2</math>
- <math>\tau_3 = t_3-t_2</math>
- <math>\tau = t_3-t_1,</math>
где <math>t_n</math> — моменты наблюдений.
Шаг 2
Вычисляются векторные произведения:
- <math>\mathbf{p_1} = \mathbf{\hat{\rho}_2} \times \mathbf{\hat{\rho}_3}</math>
- <math>\mathbf{p_2} = \mathbf{\hat{\rho}_1} \times \mathbf{\hat{\rho}_3}</math>
- <math>\mathbf{p_3} = \mathbf{\hat{\rho}_1} \times \mathbf{\hat{\rho}_2}</math>
Шаг 3
Вычисляются смешанные произведения:
- <math>D_0 = \mathbf{\hat{\rho}_1} \cdot \mathbf{p_1} = \mathbf{\hat{\rho}_1} \cdot (\mathbf{\hat{\rho}_2} \times \mathbf{\hat{\rho}_3})</math>
- <math>D_{11} = \mathbf{R_1} \cdot \mathbf{p_1} \qquad D_{12} = \mathbf{R_1} \cdot \mathbf{p_2} \qquad D_{13} = \mathbf{R_1} \cdot \mathbf{p_3}</math>
- <math>D_{21} = \mathbf{R_2} \cdot \mathbf{p_1} \qquad D_{22} = \mathbf{R_2} \cdot \mathbf{p_2} \qquad D_{23} = \mathbf{R_2} \cdot \mathbf{p_3}</math>
- <math>D_{31} = \mathbf{R_3} \cdot \mathbf{p_1} \qquad D_{32} = \mathbf{R_3} \cdot \mathbf{p_2} \qquad D_{33} = \mathbf{R_3} \cdot \mathbf{p_3}</math>
Шаг 4
Вычисляются позиционные коэффициенты:
- <math>A = \frac{1}{D_0} \left ( -D_{12} \frac{\tau_3}{\tau}+D_{22}+D_{32} \frac{\tau_1}{\tau} \right )</math>
- <math>B = \frac{1}{6D_0} \left [ D_{12} \left ( \tau_3^2-\tau^2 \right ) \frac{\tau_3}{\tau}+D_{32} \left (\tau^2-\tau_1^2 \right ) \frac{\tau_1}{\tau} \right ]</math>
- <math>E = \mathbf{R_2} \cdot \mathbf{\hat{\rho}_2}</math>
Шаг 5
Вычисляется модуль вектора положения наблюдателя в момент второго наблюдения:
- <math>{R_2}^2 = \mathbf{R_2} \cdot \mathbf{R_2}</math>
Шаг 6
Вычисляются коэффициенты полинома для поиска расстояния:
- <math>a = -\left ( A^2+2AE+{R_2}^2 \right )</math>
- <math>b = -2\mu B(A+E)</math>
- <math>c = -\mu^2B^2,</math>
где <math>\mu</math> — гравитационный параметр тела, вокруг которого происходит вращение.
Шаг 7
Ищутся решения уравнения:
- <math> {r_2}^8+a{r_2}^6+b{r_2}^3+c = 0,</math>
где <math>r_2</math> — расстояние до объекта в момент второго наблюдения.
У кубического уравнения может быть до трёх действительных корней. В случае, если их больше одного, необходимо проверить каждый из них.
Шаг 8
Вычисляются расстояния от точек наблюдения до объекта в каждый из моментов наблюдений:
- <math>\rho_1 = \frac{1}{D_0} \left [ \frac{6 \left ( D_{31} \dfrac{\tau_1}{\tau_3}+D_{21} \dfrac{\tau}{\tau_3} \right ) {r_2}^3+\mu D_{31} \left ( \tau^2-{\tau_1}^2 \right ) \dfrac{\tau_1}{\tau_3}}{6{r_2}^3+\mu \left ( \tau^2-{\tau_3}^2 \right ) } - D_{11}\right ]</math>
- <math>\rho_2 = A+ \frac{\mu B}{{r_2}^3}</math>
- <math>\rho_3 = \frac{1}{D_0} \left [ \frac{6 \left ( D_{13} \dfrac{\tau_3}{\tau_1}-D_{23} \dfrac{\tau}{\tau_1} \right ) {r_2}^3+\mu D_{13} \left ( \tau^2-{\tau_3}^2 \right ) \dfrac{\tau_3}{\tau_1}}{6{r_2}^3+\mu \left ( \tau^2-{\tau_1}^2 \right ) } - D_{33}\right ]</math>
Шаг 9
Вычисляются позиционные вектора объекта (в экваториальной системе координат):
- <math>\mathbf{r_1} = \mathbf{R_1}+\rho_1\mathbf{\hat{\rho}_1}</math>
- <math>\mathbf{r_2} = \mathbf{R_2}+\rho_2\mathbf{\hat{\rho}_2}</math>
- <math>\mathbf{r_3} = \mathbf{R_3}+\rho_3\mathbf{\hat{\rho}_3}</math>
Шаг 10
Вычисляются коэффициенты Лагранжа. Из-за этого пункта определение орбит становится неточным:
- <math>f_1 \approx 1-\frac{1}{2}\frac{\mu}{{r_2}^3}{\tau_1}^2</math>
- <math>f_3 \approx 1-\frac{1}{2}\frac{\mu}{{r_2}^3}{\tau_3}^2</math>
- <math>g_1 \approx \tau_1-\frac{1}{6}\frac{\mu}{{r_2}^3}{\tau_1}^3</math>
- <math>g_3 \approx \tau_3-\frac{1}{6}\frac{\mu}{{r_2}^3}{\tau_3}^3</math>
Шаг 11
Вычисляется вектор скорости объекта в момент второго наблюдения (в экваториальной системе координат):
- <math>\mathbf{v_2} = \frac{1}{f_1g_3-f_3g_1}\left(-f_3\mathbf{r_1}+f_1\mathbf{r_3}\right)</math>
Шаг 12
Теперь известно положение и скорость объекта в один момент времени. Значит, возможно определить параметры орбиты[2].
Примечания
Литература
- Der, Gim J.. «New Angles-only Algorithms for Initial Orbit Determination.» Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies Conference. (2012). PrintШаблон:Ref-en
