Русская Википедия:Минимальная поверхность Бура

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Bour's Surface 01.jpg

Поверхность Бура.

Файл:Bour's Surface annulus.jpg

Поверхность Бура без точек с <math>r < 0,5</math>, чтобы лучше показать самопересечения.

Минимальная поверхность Бура — двухмерная минимальная поверхность, вложенная с самопересечениями в трёхмерное евклидово пространство. Поверхность названа именем Эдмонда Бура, работа которого о минимальных поверхностях получила в 1861 году математический приз Французской академии наукШаблон:R.

Описание

Поверхность Бура пересекает себя по трём находящимся в одной плоскости лучам, расходящимися под равными углами из начала координат. Лучи делят поверхность на шесть листов, топологически эквивалентных полуплоскостям. Три листа лежат в верхнем полупространстве и три в нижнем. Четыре листа попарно касаются друг друга на каждом луче.

Уравнение

Точки на поверхности можно параметризовать в полярной системе координат парой чисел <math>(r, \theta)</math>. Каждая такая пара соответствует точке в трёхмерном пространстве согласно параметрическому представлениюШаблон:R

<math>x(r,\theta) = r\cos(\theta) - (1/2)r^2 \cos(2\theta)</math>

<math>y(r,\theta) = -r\sin(\theta)(r \cos(\theta) + 1)</math>

<math>z(r,\theta) = (4/3)r^{3/2} \cos(3\theta/2).</math>

Поверхность можно выразить как решение полиномиальных уравнений порядка 16 в прямоугольной системе координат трёхмерного пространства.

Свойства

Параметризация Вейерштрасса — Эннепера, метод превращения некоторых пар функций от комплексных чисел в минимальные поверхности, порождает эту поверхность для двух функций <math>f(z)=1, g(z)=\sqrt{z}</math>. Бур доказал, что поверхности в этом семействе развёртываются в поверхность вращенияШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга